2023考研大纲：重庆三峡学院2023年考研自命题科目 0701数学 601数学分析 考试大纲

命题方式

自命题

试卷满分

150分

考试时间

180分钟

考试方式

闭卷

试卷内容结构

数学分析1

00%

试卷题型结构

选择题5题，每小题3分，共1

5

分；

填空题5题，每小题3分，共1

5

分；

计算、解答题1

0

题，每小题8分，共8

0

分；

综合、证明题

4

题，每小题

10

分，共

40

分。

考试目标

选拔合格新生。

考试内容和要求

（一）实数集与函数

1. 考试内容

确界原理，函数的概念及表示法，函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性，复合函数，反函数，分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，

函数关系的建立

。

2. 考试要求

（1）熟练掌握上、下确界的定义，会求数集的上、下确界，能证明上、下确界相关的命题、等式。

（

2

）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会求函数的定义域。

（3）理解复合函数及分段函数的概念。

?

（4）了解反函数的概念，会讨论函数的单调性、有界性、奇偶性与周期性。

（5）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

（二）数列和函数极限

1. 考试内容

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的条件，

柯西收敛准则、

单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。

2. 考试要求

（1）理解数列极限、函数极限的概念、性质、四则运算。

（2）会用极限的定理证明数列、函数极限。

（3）能证明唯一性、有界性、保号性。

（4）会运用四则运算、夹逼准则、单调有界数列极限存在定理、等价无穷小、两个重要极限等求极限。

（5）理解无穷小量、无穷大量的概念，判别无穷小量、判别无穷大量，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。

（6）能用柯西收敛准则证明比较简单的极限问题。

（7）会求曲线的渐近线。

（三）函数连续性

1. 考试内容

函数连续的概念，函数的间断点

及其分类，

初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，一致连续性的概念。

2. 考试要求

（1）理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义，会判断间断点及其分类。理解保号性、有界性、四则运算，了解复合函数与反函数的连续性，会证明函数的连续性。

（2）会准确叙述闭区间上连续函数的有界性、最值定理、介值性、零点定理，能用有关结论进行相关证明。

（3）了解一致连续的概念，会证明某些简单函数的一致连续性。

（4）了解初等函数的连续性。

（四）导数与微分

1. 考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，

导数和微分的四则运算

，

基本初等函数的导数

，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。 　

2. 考试要求

（1）掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。

（2）熟练掌握导数定义、导数的四则运算、复合函数的导数。

（3）

会求

一般初等函数、

分段函数

、

隐函数

、参变量

函数

、幂指函数、

反函数的导数

。

（4）会求某些函数的高阶导数及参数方程和

隐

函数的二阶导数，会用莱布尼茨公式求乘积函数的高阶导数，能证明函数满足微分方程。

（5）理解微分的定义、微分的几何意义、微分与导数的关系、微分法则。

（6）了解一阶微分形式的不变性、微分在近似计算中的应用，会利用微分求近似值。

（五）微分中值定理及导数的应用

1. 考试内容

微中值定理，洛必达（

L’Hospital

）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性，拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值。

2. 考试要求

（1）理解费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

（2）会用中值定理证明一些简单的恒等式与不等式及存在性问题。

（

3

）掌握函数单调性判别法，会应用函数的单调性证明不等式。

（

4

）熟悉taylor公式，会利用已知函数泰勒公式求某函数在指定点的泰勒展开式，会利用taylor公式求函数极限。

（

5

）能熟练地应用洛必达（

L’Hospital

）法则求不定式的极限。

（6）理解极值概念、极值判别法、最值概念，能熟练地求函数的极值和最值。

（7）理解函数的凹凸性、拐点、渐近线等概念，会讨论函数的凹凸性及拐点，能作出函数的图像，会利用函数凹凸性证明不等式。

（六）不定积分

1. 考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数不定积分， 三角函数有理式不定计分，简单无理根式的不定积分。

2. 考试要求

（1）掌握原函数与不定积分的概念，熟悉基本积分表，掌握线性运算法则。

（2）会用第一和第二类换元积分法求函数的不定积分，会用分部积分法求常见类型的积分。

（3）能够计算简单有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

（七）定积分及应用

1. 考试内容

定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨（

Newton-Leibniz

）公式，定积分的换元积分法与分部积分法，定积分的应用。

2. 考试要求

（1）理解定积分概念，能熟练应用牛顿——莱布尼兹公式，会利用定积分求数列极限。

（2）了解可积准则及可积函数类，会利用可积的充要条件证明函数可积。

（3）掌握定积分的基本性质及积分中值定理，会利用奇偶性、换元等证明某些定积分相关等式。

（4）理解可变上限的定积分的性质并能运用积分上下限函数求导处理某些求导或求极限问题。

（5）会用换元积分法和分部积分法计算函数的定积分。

（6）会求简单的平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积、旋转体的体积。

（八）数项级数

1. 考试内容

级数敛散性定义，正项级数收敛的充要条件，正项级数敛散性判别法，交错级数定义及莱布尼茨判别法，一般项级数的绝对收敛和条件收敛定义。

2. 考试要求

（1）理解数项级数敛散性定义，会利用定义判断级数敛散性。

（2）了解正项级数收敛的充要条件，能熟练应用比较原则、比式判别法和根式判别法判断正项级数的敛散性，会证明某些级数收敛。

（3）了解交错级数定义，掌握莱布尼茨判别法。

（4）了解一般项级数的绝对收敛和条件收敛定义，能判断一般项级数的绝对收敛或条件收敛。

（5）会应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断级数的敛散性。

（九）函数项级数

1. 考试内容

函数项级数的定义，函数项级数一致收敛定义和判断准则，一致收敛函数项级数的性质。

2. 考试要求

（1）掌握函数项级数的定义，函数列、函数项级数一致收敛的定义和充分必要条件.

（2）熟练掌握M判别法判别函数项级数的一致收敛性。

（

3

）会应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判别函数项级数的一致收敛性。

（4）会证明函数项级数一致收敛。

（

5

）掌握一致收敛函数项级数的的连续性、逐项可积和逐项求导性质，并会利用性质解决函数项级数和函数的极限、积分和导数问题。

（十）幂级数

1. 考试内容

幂级数的定义，幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域，幂级数的性质，幂级数的运算，泰勒级数，函数的幂级数展开。

2. 考试要求

（1）了解幂级数的定义；

（2）掌握幂级数的收敛半径计算方法，会求幂级数的收敛区间、收敛域，

（3）熟悉幂级数的性质，掌握幂级数的运算，会利用幂级数的性质等求幂级数的和函数，会将简单的初等函数进行幂级数展开。

（十一）傅里叶级数

1. 考试内容

傅里叶级数的定义，以2

Pi

为周期的函数的傅里叶级数、收敛定理，以2

l

为周期的函数的傅里叶级数，奇偶函数的傅里叶级数。

2. 考试要求

（1）了解傅里叶级数的相关概念；

（2）熟悉傅里叶级数的收敛定理，会求简单的初等函数的傅里叶展开式并推导出某些常数项级数及其和。

（3）掌握以2

l

为周期的函数的傅里叶展开、奇偶函数的傅里叶傅里叶展开

。

（十一）多元函数的极限与连续

1. 考试内容

平面点集，二元函数的极限、累次极限，二元函数的连续性。

2. 考试要求

（1）熟悉平面点集相关概念；

（2）会判断二元函数的极限存在性，会求二元函数的极限，会利用定义证明函数极限；掌握二元函数连续性概念，会讨论二元函数的连续性。

（3）熟练掌握闭区域上连续函数的性质，能利用相关性质证明某些命题。

（十二）多元函数的微分学

1. 考试内容

可微性，复合函数微分法，方向导数与梯度，高阶偏导数，极值。

2. 考试要求

（1）熟悉多元函数可微的概念和充分必要条件，会求多元函数、复合函数和抽象函数的偏导数及全微分，会证明函数满足偏微分方程。

（2）熟悉可微性的几何意义，会求曲面的切平面和法线方程；

（

3

）熟悉方向导数与梯度的概念，会求函数的方向导数与梯度；

（

4

）了解二元函数中值定理和泰勒公式，会求多元函数的高阶偏导数，并证明相关等式。

（

5

）熟悉多元函数极值概念和必要、充分条件，会求二元函数的极值。

（十三）隐函数存在定理及应用

1. 考试内容

隐函数，隐函数组，隐函数的几何应用。

2. 考试要求

（1）了解隐函数、隐函数组的定义，熟悉隐函数存在定理、隐函数组定理、坐标变换，会求方程（组）所确定的隐函数（组）的导数（偏导数）。

（2）会利用隐函数（组）的存在定理，求平面（空间）曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程。

（3）熟悉条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题，会利用条件极值方法证明某些不等式。

（十三）多元函数的积分

1. 考试内容

曲线积分，二重积分，三重积分，曲面积分，格林公式，高斯公式，重积分的应用。

2. 考试要求

（1）熟悉第一、二类曲线积分的概念、性质，掌握第一、二类曲线积分的联系，会计算第一、二类曲线积分。

（2）熟悉第二重积分的概念、性质，掌握二重积分在直角坐标和极坐标系下的计算，会改变累次积分的顺序，会利用变量变换解决较复杂二重积分的计算，会利用奇偶性、对称性等计算二重积分。

（3）熟悉第三重积分的概念、性质，掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标系下的计算，会利用奇偶性、对称性等计算三重积分。

（

4

）熟悉第一、二类曲面积分的概念、性质，掌握第一、二类曲面积分的联系，会计算第一、二类曲面积分。

（

5

）熟练掌握格林公式、积分与路径无关的等价条件，会利用格林公式计算曲线积分或二重积分，会利用格林公式计算曲线围成有界域面积，会证明积分与路径无关，会利用曲线积分求某些全微分的原函数。

（

6

）熟练掌握高斯公式，会应用高斯公式计算曲面积分或曲面积分。

（十三）反常积分

1. 考试内容

反常积分，无穷反常积分和瑕积分的性质及敛散性判别，含参量正常积分，含参反常积分的一致收敛性及判别，含参反常积分的性质，欧拉积分。

2. 考试要求

（1）了解无穷反常积分和瑕积分的概念、性质及敛散性判别法，掌握无穷反常积分与数项级数的关系，会判断简单的无穷反常积分和瑕积分的敛散性。

（2）了解含参正常积分的概念，性质，会利用参正常积分的性质求含参正常积分的极限，计算某些积分。

（3）了解含参量无穷反常积分的概念、性质及一致收敛（内闭一致收敛）的判别法，掌握含参量无穷反常积分与函数项级数的关系，会利用M判别法判断含参量无穷反常积分一致收敛性，会利用一致收敛的含参量无穷反常积分的性质（连续、可积性、可微性）计算某些反常积分。

（4）熟悉伽马函数和贝塔函数及其性质，会利用伽马函数和贝塔函数计算或证明某些积分。

参考书目

数学分析第五版（上、下册），华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社。

备注