考研大纲包含了硕士研究生考试相应科目的考试形式、要求、范围、试卷结构等指导性考研用书。今天，为了方便2025考研的学子们，小编为大家整理了“湘潭大学2025年考研大纲：819高等代数”的相关内容，祝考研成功！
考试大纲要求考生熟悉高等代数的基本概念、掌握基本定理与方法、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。考查的知识要点如下：
1．多项式：数域概念，一元多项式运算法则；带余除法定理，最大公因式概念及求法(辗转相除法)；不可约多项式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余数定理，零点(根)定理；复/实系数多项式的因式分解定理；有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数多项式的有理根的求法，Eisenstein判别法 ；对称多项式基本定理，掌握把对称多项式表示成初等对称多项式的多项式的方法，会计算一元多项式的判别式。
2．行列式：排列及对换的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定义、性质及计算方法；行列式按一行（列）展开，代数余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩阵的定义和初等行、列变换，矩阵与行列式的区别；克拉默(Cramer)法则及应用。
3．线性方程组：线性方程组的高斯(Gauss)消元法；向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质；矩阵的k级子式，矩阵秩的定义、性质及求法，向量组的极大线性无关组的求法；线性方程组有解的判定、线性方程组解的结构。
4．矩阵：矩阵的基本运算，矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆的定义、性质及求法；矩阵分块的概念和分块矩阵的运算，初等矩阵、初等变换与矩阵的秩，分块乘法的初等变换及应用；矩阵的迹函数，矩阵的行列式函数以及广义行列式函数的性质。
5．二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对称矩阵的概念和性质；用非退化线性变换、正交的线性变换化二次型为标准形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数；正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。
6．线性空间：集合、映射的定义与运算性质；线性空间的定义与简单性质；维数、基与坐标的概念和性质，基变换与坐标变换；线性子空间的概念和性质，子空间的交与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则；对偶空间，线性函数，双线性函数，线性空间的同构，同构映射的概念和性质。
7．线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质；线性变换的矩阵及其性质；矩阵的相似关系的定义及其性质；特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算；线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵相似于对角矩阵的条件）；线性变换的值域与核的概念及性质；不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；根子空间分解，循环子空间，对偶算子；若当（Jordan）标准形的概念及应用；最小多项式的概念和性质及求法。
8．λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换；λ-矩阵在初等变换下的标准形；行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法；矩阵相似的条件；复矩阵若当（Jordan）标准形的计算；矩阵的有理标准形的计算。
9．欧几里得空间、酉空间：欧几里得（酉）空间（含内积）的定义与基本性质；欧几里得（酉）空间中基的度量矩阵，正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密特正交化方法；欧几里得（酉）空间的同构；正交（酉）变换、正交（酉）矩阵的定义和性质；子空间的正交关系；对称（酉）变换、实对称（Hermit）矩阵的性质及其标准形的求法；伴随算子，自伴随算子，Hermit算子，实（复）正规算子在标准正交基下的标准形。
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