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集美大学2023年硕士研究生入学考试初试自命题考试大纲
考试科目代码：[805]
考试科目名称：高等代数
一、考核目标
(一)考查考生对高等代数的基本概念、主要理论、重要方法的理解与掌握程度。
(二)考查考生的数学抽象思维、逻辑推理及运算求解能力，提高分析问题、解决问题能力。
二、试卷结构
(一)考试时间：180分钟，满分：150分。
(二)题型结构
1、填空题：6小题，每小题5分，共30分。
2、解答题(含证明题)：7小题，每小题10-20分，共120分。
三、答题方式
闭卷笔试。
四、考试内容
注：以下各章分值为参考分，允许有5分的上下浮动。
(一)多项式，20分
考试内容：
整除理论、因式分解理论、根的理论。
考试要求：
(1)理解带余除法、整除、最大公因式、互素、重因式、根等有关结论。
(2)掌握互素的证明、不可约的判别、综合除法、最大公因式、重因式、标准分解式与有理根的求法。
(3)了解矩阵或线性变换的多项式。
(二)行列式与线性方程组，20分
考试内容：
行列式的计算、线性方程组解的理论。
考试要求：
(1)理解行列式概念，掌握行列式的常用计算方法;熟悉行列式与方程组、可逆矩阵、矩阵秩、二次型、特征值等的关系。
(2)理解线性方程组解的求法、判定与结构，掌握含参数线性方程组的讨论与求解，理解齐次方程组的基础解系或解空间与系数矩阵秩的关系。
(三)矩阵，20分
考试内容：
矩阵的运算、矩阵的秩与矩阵的分解、分块矩阵及其初等变换的应用。
考试要求：
(1)掌握矩阵的各种运算、矩阵的秩、可逆矩阵。
(2)理解初等矩阵与初等变换的关系、分块矩阵及其应用，了解矩阵分解。
(3)掌握重要知识点联系及其逆否命题...含有零特征值，等等。
(四)二次型，20分
考试内容：
标准形与规范形、正定问题。
考试要求：
(1)掌握化二次型为标准形或规范形的方法、正定问题的判定与证明。
(2)了解合同、负定、半正定的概念。
(五)线性空间，20分
考试内容：
向量组的线性相关性、基、维数和坐标、子空间的和与直和。
考试要求：
(1)了解线性空间的概念、性质以及同构思想。
(2)理解向量组线性无关的常规证法，基与维数的求法与证明。
(3)掌握子空间直和的证明。
(六)线性变换，20分
考试内容：
线性变换的概念、线性变换的矩阵、相似、特征值特征向量与对角化、值域、核与不变子空间。
考试要求：
(1)了解线性变换与方阵的同构对应关系。
(2)理解线性变换、值域与核、不变子空间的概念。
(3)会求线性变换在基下的矩阵，熟悉相似的概念与性质。
(4)掌握特征值与特征向量的求法与证明，对角化问题的判别与讨论;区别线性变换与方阵的特征向量、对角化问题。
(七)Jordan标准形，10分
考试内容：
最小多项式、Jordan标准形。
考试要求：
(1)了解不变因子、初等因子的求法以及与矩阵相似的关系。
(2)理解最小多项式的概念与基本性质，掌握最小多项式、Jordan标准形的求法与应用。
(八)欧氏空间，20分
考试内容：
内积与标准正交基、正交变换和对称变换。
考试要求：
(1)了解欧氏空间、正交补的概念，理解标准正交基的性质及其求法。
(2)理解正交变换和对称变换的主要特征及相关证明，
(3)掌握实对称矩阵的正交相似对角化的计算，利用实对称矩阵性质进一步讨论正定问题。
五、主要参考书目
(一)《高等代数》，王萼芳、石生明，高等教育出版社，2013年(修订)，第四版。
(二)《高等代数导教导学导考》，徐仲等，西北工业大学出版社，2004版。
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