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南昌航空大学2025年研究生入学考试初试大纲
考试科目名称：高等代数
考试科目代码：871
考试形式：笔试
考试时间：180分钟
满分：150分
参考书目：
《高等代数》（第五版），北京大学数学系主编，高等教育出版社，2019
一、试卷结构：
1、填空或选择题 共30分；2、简单计算题 共60分；3、计算与证明题 共60分
二、考试范围：
第一章 多项式
考查知识点
（1）一元多项式的概念与运算；（2）最大公因式的求法；（3）会计算简单的因式分解；（4）了解不同数域上的多项式的因式分解定理；（5）有理系数多项式不可约的的判定方法。
(2) 考查重点
（1）整除性质及带余除法；（2）最大公因式（包含互素）；（3）重因式判别法；（4）因式分解理论；（5）艾森斯坦因判别法，求有理系数多项式的有理根的方法。
第二章 行列式
考查知识点
（1）行列式的定义和性质；（2）行列式的计算方法；（3）一般的n 阶行列式计算；(4)克拉默法则。
(2) 考查重点
（1）行列的定义、性质与计算；（2）n 阶行列式的计算。
第三章 线性方程组
考查知识点
（1）<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>维向量空间的概念；（2）向量组线性相关、线性无关的定义；（3）向量组线性相关、线性无关的重要结论； （4）矩阵秩的概念，并掌握其求法；（5）方程组解的判定定理；（6）方程组解的结构。
(2) 考查重点
（1）向量组的线性相关与线性无关；（2）矩阵的秩；（3）解线性方程组的消元法；（4）线性方程组解的判别定理；（5）基础解系及解的结构。
第四章 矩阵
考查知识点
（1）矩阵概念及其运算；（2）求逆矩阵的方法；（3）矩阵的分块及运算；（4）初等矩阵的定义及性质；（5）分块矩阵的初等变换方法。
(2) 考查重点
（1）可逆矩阵的定义、判断和性质；（2）逆矩阵的求法；（3）分块矩阵的应用。（3）矩阵的同时对角化。
第五章 二次型
考查知识点
（1）二次型及其矩阵表示，二次型的秩；（2）二次型的标准形及规范型；（3）二次型化为标准形及规范形；（4）二次型的正定性及其判别法；（5）有关矩阵正定的重要结论。
(2) 考查重点
（1）非退化变换化二次型为标准形；（2）惯性定理；（3）正定二次型的判别定理；（4）对称矩阵的对角化问题。
第六章 线性空间
考查知识点
（1）线性空间的定义；（2）有限维线性空间的基、维数、坐标的概念及求法；（3）子空间的交与和、直和；（4）有限维线性空间的同构。
(2) 考查重点
（1）线性空间的定义；（2）基、维数、坐标；（3）维数公式证明；（4）子空间的直和分解。
第七章 线性变换
考查知识点
（1）线性变换的概念、运算及其性质；（2）线性变换的矩阵表示，并会求该矩阵；（3）理解线性变换的值域与核、不变子空间概念；（4）掌握矩阵的特征值与特征向量求法；
（5）矩阵对角化的判定条件。
(2) 考查重点
（1）线性变换的定义及矩阵表示；（2）取定一组基、数域P上的n维线性空间的线性变换与n级矩阵之间的一一对应关系；（3）不变子空间的直和分解方法；（4）线性变换的值域和核。
第八章 拉姆达矩阵
（1）考察知识点
（1）拉姆达矩阵的相等与运算；（2）行列式因子，不变因子与初等因子；（3）零化多项式，最小多项式，若当块，若当标准形。
（2）考查重点
（1）矩阵相似化成若尔当标准形；(2)求矩阵的最小多项式； (3)求矩阵多项式和矩阵的幂。
第九章 Euclid空间
考查知识点
（1）欧氏空间的概念；（2）欧氏空间的标准正交基的求法。（3）正交变换与标准正交基之间的关系；（4）正交矩阵的重要结论；（5）实对称矩阵通过正交变换化对角矩阵的方法。
(2) 考查重点
（1）标准正交基；（2）用正交变换化二次型为标准型；（3）正交变换与对称变换。
（4）子空间的正交补及其唯一性；
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