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2025 年硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：数学分析 考试时间：180 分钟, 满分：150 分
一、 考试要求
1.极限与连续
(1) 掌握数列极限和函数极限的基本理论与性质，会用极限的定义与性质证 明或计算一般极限方面的命题.
(2) 掌握函数连续性定义与性质，会用函数连续性定义与性质证明相关的命 题和结论.
(3) 了解实数的基本定理，会用实数的基本定理证明相关的命题和结论.
2. 一元函数微积分及其应用
(1) 掌握一元函数微分学的基本理论与性质，会用导数的定义与性质讨论或 证明相关的命题和结论．掌握一元函数常见的求导方法，会求一元函数各阶导数.
(2) 掌握导数与微分中值定理及其应用，会用微分中值定理证明相关的命题 和结论．会用导数与微分的基本性质讨论函数的单调性，凹凸性，极值．掌握罗 比塔法则，会利用罗比塔法则计算或讨论相关的命题和结论.
(3) 掌握原函数、不定积分、定积分的概念与性质，掌握常见的不定积分 与定积分计算方法，掌握变上限定积分定义的函数及其求导方法，掌握牛顿－莱 布尼兹公式.
(4) 会利用定积分表达或计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积、平 面曲线的弧长、旋转体的体积及表面积、质心、变力做功、压力等.
3. 多元函数微积分学
(1) 掌握多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式 法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值.
(2) 掌握二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与性质，掌握格 林公式、高斯公式、斯托克司公式，会利用有关的性质与公式计算或证明相关的 命题和结论．会利用重积分、曲线积分表达或计算一些几何量与物理量，空间曲 线的弧长、立体的体积、质心、引力等.
4. 级数理论与广义积分
(1).掌握数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质， 掌握函数项级数、幂级数、傅里叶级数的各种收敛理论与性质，会利用常见的判 别方法判断各类级数的敛散性，会利用常见幂级数、傅里叶级数计算数项级数的 和.
(2). 掌握一元函数的广义积分的基本理论与性质，会利用常见的判别方法 讨论无穷限广义积分，无界函数广义积分，含参变量的广义积分的敛散性.
(3). 理解广义重积分的基本理论与性质，会计算简单的广义重积分.
二、考试内容
1.极限与连续
(1) 数列极限、函数极限的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极 限方面的命题.
(2)函数连续、一致连续的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极 限方面的命题.
(3) 实数基本定理，闭区间上函数连续的性质及其应用.
2. 一元函数微积分及其应用
(1)一元函数各阶导数的定义与性质，导数与微分中值定理及其应用：微分 中值定理，泰勒公式，函数的单调性，凹凸性，极值，罗比塔法则．利用有关定 义微分学的基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论
(2) 一元函数积分及其应用：不定积分，定积分，平面图形的面积，曲线的 长，旋转体的体积及表面积、质心.
(3) 原函数、不定积分、定积分的概念与性质，不定积分与定积分计算方法， 变上限定积分定义的函数及其求导. 利用有关定义微分学的基本理论与性质，讨 论或证明相关的命题和结论
3. 多元函数微积分学
(1) 多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则， 隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．利用有关定义、基本理论 与性质，讨论或证明相关的命题和结论.
(2) 二重积分、三重积分、曲线积分，曲面积分的定义与性质，格林公式， 高斯公式. 利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论.
(3) 计算多元函数的偏导数和全微分、二重积分、三重积分、曲线积分，曲 面积分.
4. 级数理论与广义积分
(1) 数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，数项 级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数敛散性的判别. 利用有关定义、基本理 论与性质，讨论或证明相关的命题和结论.
(2) 幂级数的收敛域，将函数展成幂级数或傅里叶级数，计算数项级数的和.
(3) 一元函数的广义积分与广义重积分的基本理论与性质，判别广义积分的 敛散性．利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．计算 一元函数的广义积分与简单的广义重积分．讨论含参变量的广义积分的性质.
三、参考书目
1. 《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系：陈传璋，金福临，朱学炎， 欧阳光中编，高等教育出版社，2004 年 7 月，第二版.
2. 《数学分析》（上、下册），郭大钧，陈玉妹，裘卓明编著，山东科技出 版社，2002 年 8 月，第二版.
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