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大连海事大学硕士研究生入学考试大纲
考试科目：实变函数
试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
考试内容?
一、?集合论基础
1. ?集合及其运算；
2. 集合的基数；
3. 可数集与不可数集。
二、?Rn中的拓扑
1. 开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包?；
2. 开集的构造定理；
3. 康托（Cantor）三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。
?
三、?测度理论?
1. 外测度的概念和基本性质；
2. Lebesgue可测集的概念与Caratheodory条件；
3. Lebesgue可测集全体的各种整体性质（如可列可加性等）；
4. 不可测集的构造；
5. Lebesgue可测集的等价概念；
6. 代数，代数，Borel集。
?
四、?可测函数?
1. ?可测函数及其性质；
2. 测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛；
3. 用连续函数逼近可测函数，鲁金（Lusin）定理。
五、?Lebesgue积分?
1. Lebesgue积分的定义与性质；
2. 可测函数列积分收敛定理，Lebesgue积分的绝对连续性；
3. Lebesgue积分与Riemman积分的关系；
4. 重积分、累次积分、Fubini定理；
5. 有界变差函数，绝对连续函数，Lebesgue-Stieltjes积分。
基本要求
一、?集合论基础
1. 熟练掌握?集合各种运算（包括集合列的上、下极限集）；
2. 理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法；
3. 理解Bernstein定理及Cantor对角线法。
二、?Rn中的拓扑
1. 掌握度量概念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质；
2. 理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别；
3. 掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托（Cantor）三分集、广义康托（Cantor）集做相应探讨。
三、?测度理论?
1. 理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用Caratheodory条件推导Lebesgue可测集各种性质；
2. 掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例；
3. 掌握开集、闭集、G集、F集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性；
4. 理解代数、代数、Borel集的概念，掌握Borel集与Lebesgue可测集的关系。
四、?可测函数?
1. 理解可测函数与简单函数之间的关系，并能用可测函数基本概念、简单函数列逼近两种方法证明各种性质；
2. 掌握可测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛的关系及证明方法（包括叶果洛夫（Egoroff）定理，黎斯（Riesz）定理），理解依测度收敛的重要性；
3. 掌握连续函数与可测函数的关系，能够运用鲁金（Lusin）定理解决相关问题。
五、?Lebesgue积分?
1. 掌握Lebesgue积分的定义与性质；
2. 能够运用Levi引理、Fadou引理、Lebesgue控制收敛定理解决可测函数列积分收敛问题，理解Lebesgue积分的绝对连续性；
3. 理解Lebesgue积分与Riemman积分的关系，并能据此进行各种积分运算；
4. 理解重积分、累次积分、Fubini定理，并能进行简单的运算；
5. 理解Vitali覆盖、单调函数的Lebesgue定理、有界变差函数、绝对连续函数、Lebesgue-Stieltjes积分。
参考书目?
1．教材：《实变函数论》（第二版），周民强，北京大学出版社，2008年。
2. 参考书目：《实变函数解题指南》（第二版），周民强，北京大学出版社，2018年。
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