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西南石油大学
2023 年硕士研究生招生专业课考试大纲
考试科目名称： 936 高等代数
一、考试性质
《 高等代数 》 是硕士研究生入学考试科目之一。本考试大纲的制定力求反映
招生 类型的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的相关基础知识掌握水平，
考 生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。应考人员可根据本大纲的内容和
要 求自行学习相关内容和掌握有关知识。
本大纲主要包括行列式、矩阵、线性方程组、方阵对角化、二次型、多项式、
线性空间、线性变换和欧几里得空间等内容。
二、考试主要内容
1、 行列式
考试范围： n 阶行列式的定义 ， n 阶行列式的性质与计算。
基本要求：
（ 1） 理解排列及其逆序数，理解 n 阶行列式的定义，能利用定义计算行列
式的值。
（ 2） 熟练掌握行列式的性质，能熟练计算低阶行列式的值，能计算较简单 的
n 阶行列式的值。
2、矩阵
考试范围：矩阵及其运算，分块矩阵与矩阵的初等变换，矩阵的秩，可逆矩
阵。
基本要求：
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（ 1） 理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、 反
对称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念，熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运 算、
转置及其运算规律。
（ 2） 理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念，熟练掌握 分
块矩阵的运算。
（ 3） 理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用，了解矩阵等价的概念及 性
质，能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。
（ 4） 理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义，熟练掌握矩阵的秩的性质，能求 矩
阵的秩。
（ 5） 理解满秩矩阵的概念，掌握满秩矩阵的性质。
（ 6） 掌握两个方阵与其乘积的秩的关系式，能熟练运用方阵乘积的行列式 的
公式。
（ 7） 理解可逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充分必 要
条件。
（ 8） 理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质，会用伴随矩阵法求可逆 矩
阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。
3、线性方程组
考试范围：向量及其线性运算，向量组的线性相关性，向量组的秩， 线性方
程组解的判定定理，齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。
基本要求：
（ 1） 理解 n 维向量的概念，熟练掌握 n 维向量的线性运算及其运算规律。
（ 2） 理解向量组的线性组合的概念，能将向量表示成向量组的线性组合。
（ 3） 理解向量组的线性相关与线性无关的定义，熟练掌握向量组线性相关 、
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线性无关的判别法，掌握向量组线性相关、线性无关的有 关重要结论。
（ 4） 理解向量组等价、向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，理解 向
量组的秩与矩阵秩的关系。
（ 5） 会求向量组的秩和向量组的一个极大线性无关组，并能用向量组的一 个
极大线性无关组线性表出该向量组中的其它向量。
（ 6） 理解线性方程组的基本概念，掌握克拉默 （ Cramer ） 法则，会用克 拉
默法则解线性方程组。
（ 7） 熟练掌握线性方程组解的判定定理，能用初等变换法解线性方程组。
（ 8） 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，掌握齐次线性方程组 解
的性质，能熟练解齐次线性方程组。
（ 9） 掌握非齐次线性方程组解的性质，理解非齐次线性方程组的解的结构。
（ 10） 掌握非齐次线性方程组的性质，理解非齐次线性方程组的解的结构 ，
能熟练解非齐次线性方程组。
4、方阵对角化
考试范围：内积，特征值与特征向量，矩阵对角化。
基本要求：
（ 1） 理解向量的内积、正交向量组的概念，掌握内积、正交向量组的性质 ，
掌握施密特 （ Schmidt ）正交化方法。
（ 2） 理解正交矩阵的概念，熟练掌握正交矩阵的性质和实方阵是正交矩阵 的
条件。
（ 3） 理解方阵的特征值、特征向量、特征多项式和特征方程等概念，会求 矩
阵的特征值和特征向量，熟练掌握方阵的特征值和特征向量的性质。
（ 4） 理解矩阵相似的概念，并熟练掌握它们的性质。
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（ 5） 理解方阵相似对角矩阵的条件，掌握将矩阵对角化的方法。
（ 6） 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，熟练掌握用正交矩 阵
化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
5、二次型
考试范围：二次型及其标准形，正定二次型。
基本要求：
（ 1） 理解二次型及其矩阵、秩、线性替换、矩阵合同、二次型的标准形和 规
范形等概念，会用用配方法化二次型为标准形，熟练掌握用正交变换化实二次 型
为标准形的方法。
（ 2） 掌握惯性定理，理解正惯性指数、负惯性指数等 概念。
（ 3） 理解正定二次型及正定矩阵等概念，掌握实二次型是正定二次型的条 件，
掌握正定二次型与正定矩阵的判别法。
6、多项式
考试范围：一元多项式的运算及其整除性，最大公因式，因式分解唯一定理
和重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。
基本要求：
（ 1） 理解一元多项式的基本概念，熟练掌握一元多项式的运算。
（ 2） 理解一元多项式的整除的概念，掌握整除的性质和定理。
（ 3） 理解最大公因式、互素等概念，掌握有关定理，能用辗转相除法求最 大
公因式。
（ 4） 理解不可约多项式、重因式等概念，理解因式分解唯一定理及标准分 解
式，掌握多项式无重因式的充要条件。
（ 5） 了解复数域和实数域上的多项式的因式分解定理。
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（ 6） 理解艾森斯坦因判别法，能求有理系数多项式的有理根。
7、线性空间
考试范围：线性空间的定义与性质，向量组的线性关系，维数、基、坐标，
基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的
同构。
基本要求：
（ 1） 理解线性空间的定义，掌握线性空间的简单性质。
（ 2） 理解线性空间中向量组的线性组合、向量的线性表出、向量组的线性 相
关与线性无关、向量组等价、向量组的极大线性无关组和向量组的秩等概念， 掌
握有关重要结论。
（ 3） 理解线性空间的维数、基与坐标等概念，能求线性空间的维数与一组 基，
能求向量的坐标。
（ 4） 掌握基变换与坐标变换公式，能求由一组基到另一组基的过渡矩阵。
（ 5） 理解线性子空间和子集生成的子空间等概念，掌握子空间判别方法。
（ 6） 理解子空间的交与和等概念，掌握子空间的交与和的重要性质和维数 公
式。
（ 7） 理解子空间的直和概念，掌握子空间的直和的重要性质。
（ 8） 理解映射、单射映射、满射映射、双射映射和同构映射等概念，掌握 同
构映射的基本性质。
8、线性变换
考试范围：线性变换及其运算，线性变换的矩阵，线性变换的特征值与特征
向量，不变子空间。
基本要求：
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（ 1） 理解线性变换、可逆线性变换等概念及其性质，掌握线性变换的运算 ，
掌握可逆线性变换的判定方法，了解线性变换的幂与多项式。
（ 2） 理解线性变换的矩阵的概念，能求线性变换的矩阵，掌握同一个线性 变
换在不同基下的矩阵间的关系。
（ 3） 理解线性变换的特征值与特征向量的概念，能求线性变换的特征值与 特
征向量。
（ 4） 掌握线性变换的特征值和特征向量的性质，掌握线性变换在一组基下 的
矩阵是对角矩阵的条件。
（ 5） 理解不变子空间、特征子空间、值域和核等概念，掌握线性变换的秩 与
零度的关系。
9、欧几里得空间
考试范围：欧氏空间的定义与性质，度量矩阵，标准正交基，正交补，欧氏
空间的同构，正交变换与对称变换。
基本要求：
（ 1） 理解欧氏空间及其度量的概念，掌握欧氏空间的性质。
（ 2） 理解度量矩阵的概念，能求度量矩阵，掌握不同基的度量矩阵之间的 关
系。
（ 3） 理解正交基、标准正交基等概念，掌握基是标准正交基的条件，掌握 从
一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵的性质。
（ 4） 理解正交和、正交补、内射影等概念，掌握正交补的求法和有关理论。
（ 5） 理解欧氏空间同构的概念。
（ 6） 理解正交变换与对称变换等概念，掌握正交变换与对称变换的有关性 质。
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三、考试形式和试卷结构
1、考试时间和分值
考试时间为 180 分钟，试卷满分为 150 分。
2、考试题型结构
（ 1） 计算题：根据题目内容完成相应问题的计算，要求给出具体计算过程。
（ 2） 证明题：根据题目内容完成相应问题的证明，要求给出具体证明过程。
四、参考书目
1、《高等代数教程》 （第一版 ），上册，王萼芳编著，清华大学出版社， 201 1
2、《高等代数教程》 （第一版 ），下册，王萼芳编著，清华大学出版社， 201 1
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