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2022年硕士研究生招生考试初试考试大纲
科目代码：814
科目名称：数学分析
适用专业：数学类各专业
考试时间：3小时
考试方式：笔试（闭卷）
总 分：150分
考试范围：
一、函数、极限与连续
1．掌握收敛数列的性质及数列极限的存在条件（单调有界数列必有极限与夹逼定理）。
2．掌握函数极限的性质与函数极限的存在条件；熟练掌握两个重要极限。
3．理解无穷小与无穷大的概念，熟练掌握无穷大与无穷小处理极限以及无穷小阶的比较。
4．理解连续函数的概念，掌握闭区间上连续函数的性质；了解一致连续的概念。
二、一元函数微分学
1．理解导数的概念，熟练掌握各种求导的运算；理解微分的概念，理解高阶导数的概念。
2．掌握三个微分中值定理；熟练掌握罗必达法则；掌握带有两种余项的泰勒公式。
3、熟练掌握常用的几个函数的展开式，能够用导数来判断函数的单调、凹凸等性质。掌握函数极值的判别和函数最大（小）值的求解。
三、一元函数积分学
1．理解不定积分的概念，熟练掌握基本初等函数的不定积分、换元积分法与分部积分法；了解有理函数、简单的无理函数与三角有理函数的不定积分。
2．理解定积分的概念；理解可积准则；了解常用的可积函数类与定积分的性质；理解变限定积分的概念与原函数存在定理。熟练掌握计算定积分的牛顿—莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。
3．掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积与平面曲线的弧长。
四、多元函数微分学
1．理解多元函数的概念；掌握偏导数与全微分的概念。
2. 掌握多元复合函数的偏导数与全微分计算。
3．了解隐含数的存在性条件与结论；熟练掌握隐函数的微分法。
4. 掌握偏导数的几何应用与二元极值的求法。
五、多元函数积分学
1．理解重积分的概念，掌握二重积分与三重积分的计算。
2．理解曲线、曲面积分的定义与计算，掌握格林公式、高斯公式、奥高公式。
3．了解多元积分学的简单应用。
六、无穷级数
1．掌握判别正项级数敛散性的各种方法—比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法；理解收敛级数、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系；掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
2．理解幂级数作为特殊的函数项级数和一般函数项级数相同的性质，会求幂级数的收敛半径和收敛范围；掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式，五种基本初等函数的幂级数展开。
3．了解傅里叶级数的两种展开式。
七、反常积分与参变量积分
1．了解反常积分，无穷积分，瑕积分的概念、性质及判别法。
2．掌握反常积分与含参变量积分的计算。
样 题：
一、计算题（本大题共计6道题，每小题10分，共计60分）
1.设<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject2.bin><Object: word/embeddings/oleObject3.bin>，利用单调有界准则证明：数列<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>收敛，并求其极限。
2.确定<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>的值，使<Object: word/embeddings/oleObject6.bin> （<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>。
3.设<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>由方程 <Object: word/embeddings/oleObject9.bin> 确定，求曲线<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>在x=0处的切线方程。
4.计算 <Object: word/embeddings/oleObject11.bin>, 其中D是椭圆区域 <Object: word/embeddings/oleObject12.bin>。
5.求证：设a>b>0,证明: <Object: word/embeddings/oleObject13.bin>。
6.设 <Object: word/embeddings/oleObject14.bin>连续,Ω为空间区域<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>,<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>,求<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>。
二、证明题（15分）若函数<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>在（a,b）内具有二阶导数，且<Object: word/embeddings/oleObject19.bin>其中<Object: word/embeddings/oleObject20.bin>，证明：在 <Object: word/embeddings/oleObject21.bin>内存在一点<Object: word/embeddings/oleObject22.bin> 使得<Object: word/embeddings/oleObject23.bin>。
三、（15分）计算曲线积分<Object: word/embeddings/oleObject24.bin>
L为点A（a,0）到点（0，0）的上半圆周<Object: word/embeddings/oleObject25.bin>
四、（15分）计算<Object: word/embeddings/oleObject26.bin>,<Object: word/embeddings/oleObject27.bin>柱面<Object: word/embeddings/oleObject28.bin>被平面z=1和z=0所截得部分的外侧。
五、（15分） 给定幂级数<Object: word/embeddings/oleObject29.bin>（1）求收敛域及和函数<Object: word/embeddings/oleObject30.bin>（2）求级数<Object: word/embeddings/oleObject31.bin>的和。
六、（15分）计算反常积分 <Object: word/embeddings/oleObject32.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject33.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject34.bin>。
七、（15分）设<Object: word/embeddings/oleObject35.bin>在<Object: word/embeddings/oleObject36.bin>上连续，并满足<Object: word/embeddings/oleObject37.bin> ,
<Object: word/embeddings/oleObject38.bin>。
证明：<Object: word/embeddings/oleObject39.bin>；
求<Object: word/embeddings/oleObject40.bin>的值。
参考书目：
1.刘玉琏等.数学分析讲义.高等教育出版社，2019.第六版
2.华东师范大学数学系.数学分析,高等教育出版社,2019年.第五版
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