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2025年硕士研究生复试科目考试大纲
（同等学力考生加试科目）
考试科目代码：[J228]
考试科目名称：实变函数
一、考核目标
主要考察考生掌握Lebesgue测度与Lebesgue积分理论的基本思想与方法、集合论的基本理论、熟练运用集合与极限这两大数学工具。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为120分钟。
（二）答题方式：闭卷、笔试。
（三）题型：解答题、证明题。
三、考试内容
1、集合的表示及集合的基本运算；集合序列的上、下限集。集合的势的定义，势的性质，势的比较。常见集合的势及其基本性质；
2、度量空间，n维欧氏空间；聚点，内点，界点；开集，闭集，完备集；直线上的开集、闭集及完备集的构造；Cantor集；
3、外测度概念，外测度与体积的关系，可测集的定义及其性质，包括可测集经交、并、差运算后的可测性，可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集类；Lebesgue可测集的结构；
4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和它们之间的关系；
5、一般可测函数积分的定义，Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收敛定理及其应用，Riemann可积的充要条件。掌握L 积分的概念,理解L 积分和R 积分的关系.掌握Lebesue积分的性质,对有关Lebesue积分的三个极限定理及其应用。主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本方法，包括集合的势与对等、Borel集类、Lebesgue测度、可测函数、可测函数的收敛、Lebesgue积分等的基本概念；集合序列的上下限集、可测集经交并差运算、Lebesgue积分等的计算方法，Cantor 集的构造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”之间的关系，Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，Lebesgue积分的极限定理等。
四、主要参考书目
1、程其襄等． 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]． 北京：高等教育出版社，2019.
2、周民强． 实变函数（第三版）[M]． 北京：北京大学出版社，2016.
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