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硕士研究生招生考试业务课考试大纲
考试科目： 数学分析 科目代码： 601
一、考试目的和要求
《数学分析》为招收数学专业硕士生而拟设的具有选拔功能的考试。其主要 目的是测试考生对数学分析最基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生熟悉 数学分析的基本理论、掌握数学分析的基本方法, 具有较强的抽象思维能力、逻 辑推理能力和运算能力。
二、考试基本内容
内容包括极限理论、实数完备性、一元函数微分学和积分学、多元函数微分 学与积分学、级数理论等。
三、考试题型及分值
判断题、计算题、证明题等。总分为 150 分。
四、考试方式
闭卷。考试不允许带计算器。
五、考试知识点
（一）实数集与函数
上确界、下确界、确界原理；函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特 性；基本初等不等式及应用。
（二）数列极限
数列极限的ε - N 定义；求解各类数列的极限；收敛数列的常用性质；数列 收敛的判别条件。
（三）函数极限
函数极限的ε -δ 定义及其它变式；函数极限存在的条件及判别，应用两个 重要极限求解较复杂的函数极限。无穷小量、无穷大量的概念；会应用等价无穷 小求极限。
（四）函数连续性
函数在某点及在区间上连续的几种等价定义，尤其是ε -δ 定义；函数间断 点及类型；闭区间上连续函数的三大性质及其应用；区间上一致连续函数的定义、 判断和应用。
（五）导数和微分
导数的定义、几何意义，复合函数、参量函数、隐函数求导；微分的概念， 复合函数微分及一阶微分形式不变性。连续、可导、可微之间的关系；高阶导数 的各种求解方法。
（六）微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用，洛必达法则求极限，单调区间、极值、最值的求法； Taylor 公式思想、方法及应用；曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性 质；应用函数单调性、凹凸性等等工具证明函数不等式。
（七）实数完备性
实数完备性定理，闭区间上连续函数有界性、最值性、介值性、一致连续性 定理。
（八）不定积分
原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数的积分，三角函数 有理式、某些简单无理式的积分。
（九）定积分
积分的定义和性质，微积分基本定理熟练应用；换元法、分部积分法计算定 积分；可积条件和可积类。
（十） 定积分的应用
平面图形面积的计算；旋转体或已知截面面积的体积；定积分求孤长、旋转 体的侧面积。
（十一）反常积分
反常积分收敛性定义，反常积分敛散性判别法（Cauchy 、Abel 、Dirichlet 三 大判别法）。
（十二）数项级数
级数收敛和发散的定义、性质，正项级数收敛的各种判别法，条件收敛、绝 对收敛及 Leibniz、Abel、Dirichlet 三大判别法，条件收敛、绝对收敛级数的特殊 性质。
（十三）函数列与函数项级数
函数列、函数项级数一致收敛的ε - N 定义、一致收敛的判别法；一致收敛 函数列和一致收敛函数项级数的性质。
（十四）幂级数
幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质；函数 的幂级数展开的方法；幂级数的和函数及某些数项级数的和。
（十五）傅里叶级数
2π 周期的傅里叶系数公式，会求函数的傅里叶展式，余弦级数，正弦级数 的求法；收敛性定理，掌握 Bessel 不等式、Lebesgue 引理等几个重要定理；Parseval 等式并运用其求某些数项级数的和。
（十六）多元函数的极限与连续
二元函数重极限、累次极限计算；二元函数连续性及其性质。 （十七）多元函数微分学
偏导数和全微分，会计算高阶偏导数（尤其是二阶偏导数），多元复合函数 求导的链式法则、理解一阶全微分形式不变性。二元函数连续、偏导数连续、可 微、可偏导之间的多角关系；二元函数中值定理与 Taylor 公式；多元函数极值、 最值的求解方法，并会运用于解决实际问题。方向导数与梯度。
（十八）隐函数定理及其应用
隐函数（组）定理，隐函数（组）的微分，空间曲线的切线与法平面，空间 曲面的切平面与法线；条件极值的 Lagrange 乘数法。
（十九）含参量积分
含参量正常积分的定义及性质，含参量反常积分一致收敛定义、判别法，一 致收敛含参量反常积分的性质（连续性、可导性、可积性），Euler 积分并用于 计算某些反常积分；积分号下求导数等方法计算某些积分和反常积分。
（二十）曲线积分
第一、二型曲线积分，格林公式，二型曲线积分与路径无关的条件，会求全 微分式的原函数。
（二十一）重积分
二重积分、三重积分的直角坐标计算、变量替换，极坐标变换、柱坐标变换
球坐标变换及广义球坐标变换，重积分几何应用，会求曲面面积、重心坐标 等。
（二十二）曲面积分
第一、二型曲面积分的概念及物理意义；了解两种曲面积分的转换关系，两 型曲面积分的直角坐标计算公式；Gauss 公式和 Stokes 公式。
六、参考书目
1 ．华东师范大学数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社。
2. 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，高等教育出版社。
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