考研大纲包含了硕士研究生考试相应科目的考试形式、要求、范围、试卷结构等指导性考研用书。今天，为了方便2025考研的学子们，小编为大家整理了“湖南理工学院2025年考研大纲：008数学学院-828-数学基础综合（初试科目）”的相关内容，祝您考研顺利！
2025年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[828]
考试科目名称：数学基础综合
一、考核目标
要求考生系统地理解高等数学与线性代数概念、基本理论和基本方法。 要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间：满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式：闭卷、笔试
（三）试卷内容及比例：高等数学部分：约占70%；线性代数部分：约占30%。
（四）题型：解答题。
三、考试内容
（一）高等数学部分（约占70%，105分）
1、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限及其应用。
函数连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其证明。
考试要求
理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形。
理解极限的概念，理解函数左右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
掌握极限的性质及四则运算法则。
了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
2、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理及其应用，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的最大值与最小值。
考试要求
（1）理解导数和微分的概念，导数与微分的关系，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
（2）熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
（3）了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
（4）会求分段函数的导数。
（5）会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
（6）会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
（7）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
（8）用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
（9）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。
3、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，定积分的应用。
考试要求
（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
（2）掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法。
（3）掌握牛顿-莱布尼茨公式，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
（4）理解积分上限函数，会求它的导数。
（5）了解反常积分的概念，会计算反常积分。
（6）掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
4、向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系、向量的概念及其表示，向量运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，两个向量垂直和平行的条件，单位向量、方向数与方向余弦的概念、向量的坐标表达式，用坐标表达式进行向量运算的方法，曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线参数方程和一般方程，空间曲线在坐标平面上的投影及其方程，平面方程和直线方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，点到直线以及点到平面的距离。
考试要求
（1）了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
（2）掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直和平行的条件。
（3）了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
（4）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
（5）了解空间曲线参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程。
（6）掌握平面方程和直线方程及其求法。
（7）会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
（8）会求点到直线以及点到平面的距离。
5、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
考试要求
（1）理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
（3）理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。
（4）掌握多元复合函数偏导数的求法。
（5）会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
（6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
（7）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
6、多元函数积分学
考试内容
二重积分的概念、性质、计算和应用，
考试要求
（1）理解二重积分，了解并会应用重积分的性质。
（2）掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
7、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式。
考试要求
（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；
（2）掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；
（3）掌握几何级数与P-级数的收敛与发散的条件；
（4）掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；
（5）掌握交错级数的莱布尼茨定理；
（6）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；
（7）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，
（8）会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；
（9）掌握<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>，<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>和<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.
（二）线性代数 （约占30%，45分）
1、行列式
考试内容
二、三阶行列式，全排列和对换，n阶行列式的定义，行列式的性质与计算，行列式按行(列)展开。
考试要求
（1）会求n级全排列的逆序数与奇偶性，了解对换的性质；
（2）掌握二、三阶行列式的计算方法；
（3）理解n阶行列式的定义，会用定义法求解特殊行列式的值；
（4）掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式；
（5）掌握余子式与代数余子式的定义，掌握行列式按行(列)展开定理，能熟练运用行列式按行(列)展开定理计算行列式；
（6）掌握n阶行列式的计算方法，能计算一些简单的n阶行列式，了解范德蒙行列式及其应用；
2、矩阵及其运算
考试内容
线性方程组和矩阵、矩阵的运算、 逆矩阵、克拉默法则、分块矩阵
考试要求
(1) 理解矩阵的概念；掌握方阵、行(列)矩阵、零矩阵、方阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质；
(2) 掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的基本运算规律，了解方阵的幂、多项式，掌握方阵的行列式的相关公式，熟记方阵乘积的行列式公式；
(3) 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及其存在的充要条件，会判定矩阵的可逆性，掌握逆矩阵的基本运算规律，会用伴随矩阵求逆矩阵；
(4) 理解克拉默法则，会用该法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求方程组的解；
(5) 掌握矩阵的分块法及分块矩阵的运算，理解分块矩阵的特点；
3、线性方程组
考试内容
矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解
考试要求
(1) 理解用消元法求解线性方程组；
(2) 掌握矩阵的初等变换的概念，理解初等变换的性质，掌握矩阵的阶梯形、最简形、标准形的特征及相关运用；了解矩阵等价的概念与判别；掌握初等变换的应用，会用初等变换求逆矩阵、解线性方程组、解矩阵方程；
(3) 理解初等矩阵的概念，并掌握初等变换与初等矩阵和矩阵乘积之间的关系；
(4) 理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，了解矩阵秩的不等式的运用；
(5) 掌握非齐次线性方程组有解、有唯一解、有无穷解、无解的充分必要条件，掌握齐次线性方程组有非零解、仅有零解的充分必要条件，会利用矩阵的秩判定含参数线性方程组的解的存在性，会求一般线性方程组的通解。
4、向量组的线性相关性
考试内容
向量组及其线性组合、向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构
考试要求
(1) 理解n维向量、向量组的概念；掌握向量组的线性组合、线性表示、以及向量组之间的相互表示；能用线性方程组和秩的方法判别向量的线性表示，能用秩的方法判断向量组的线性表示与等价；
(2) 理解向量组的线性相关与线性无关等概念；能灵活运用相关定义及有关的定理和性质，结合矩阵、行列式和线性方程组等有关知识来判断、证明向量组的相关性；
(3) 理解向量组最大无关组与向量组的秩的概念，并会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大线性无关组；
(4) 理解向量组的秩、矩阵的秩、向量组的线性相关性、线性方程组理论、行列式理论之间的联系；
(5) 掌握基础解系的概念，正确理解齐次线性方程组解的结构，掌握非齐次线性方程组解和与之对应的齐次线性方程组的解的关系；能熟练地利用各种方法求齐次线性方程组的基础解系、通解和非齐次线性方程组的通解；
掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。
5、相似矩阵与二次型
考试内容
向量的内积、长度及正交性、方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、对称矩阵的对角化、二次型及其标准形、用配方法化二次型为标准形、正定二次型
考试要求
(1) 掌握向量的内积、长度及正交性等概念与基本性质，熟练掌握Schmidt正交化方法；了解正交矩阵的概念，理解正交矩阵与标准正交基之间的关系；
(2) 掌握矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值及特征向量；理解特征值与特征向量的性质；
(3) 理解相似矩阵的概念，弄清相似矩阵的特征值与特征向量的关系，掌握矩阵可对角化的条件，会求一般矩阵的相似对角变换和对称矩阵的正交相似对角变换；
(4) 掌握二次型及其矩阵表示和二次型秩的概念；
(5) 掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形；
(6) 了解二次型的正定性及其判别方法，了解惯性定理。
参考文献
[1] 同济大学数学系. 高等数学（上、下册，第七版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.
[2] 同济大学数学系. 工程数学-线性代数（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.
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