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815 高等代数
专业： 0701 数学 学院： 理学院
一、考试的总体要求
要求考生准确理解基本概念和基本定理，扎实掌握方法，并对定理能够灵活运用； 而且要求有较强的计算能力、分析能力与解决问题的能力，对高等代数的思维和方法能 灵活运用。答题务必书写清晰，过程必须详细，不在试卷上答题。
二 、考试形式与试卷结构
（一）答卷方式：闭卷，笔试
（二）答题时间：180 分钟
（三）总分：150 分
（四）考试题型及分值
题型 | 填空题 | 计算题 | 综合题 |
分值 | 10 — 40
分 | 30 — 90
分 | 30 — 60
分 |
三、考试内容及所占分值
（一）多项式（不超过 20 分）
1.考核知识点
数域，一元多项式；整除的概念，最大公因式；因式分解定理；重因式；多项式函 数；复系与实系数多项式的因式分解；有理系数多项式。
2.考核内容
（1）理解数域的定义；数域 P 上一元多项式的概念。
（2）理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。
（3）正确理解和掌握两个多项式的最大公因式,互素等概念及性质，会求两个多项 式的最大公因式。
（4）理解不可约多项式的定义及性质；掌握因式分解及唯一性定理；懂得标准分解
式；理解和掌握 k 重因式的定义。
（5）掌握余数定理及多项式的根的性质；知道代数基本定理；掌握复（实）系数多 项式分解定理及标准分解式；理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系； 懂得本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质及 Eisenstein 判别 法。
（二）矩阵代数（不超过 25 分）
1.考核知识点
矩阵及其运算；矩阵的分块与初等方阵；矩阵的逆；线性方程组。
2. 考核内容
（1）掌握矩阵分块及其运算，理解矩阵初等变换和初等矩阵的概念，熟练掌握矩阵 初等变换与矩阵乘法的关系，并能应用初等变换将矩阵化简成简化阶梯形矩阵。
（2）逆矩阵的性质及求法。
（3）理解线性方程组及其解的概念，掌握线性方程组解的性质，理解线性方程组消 元法与矩阵初等变换的关系，并能利用矩阵初等变换对线性方程组的解的情况作讨论。
（三）方阵的行列式 （不超过 25 分）
1.考核知识点
行列式的定义；行列式的性质；行列式的展开；用行列式求矩阵的逆矩阵与克拉默 (Cramer)法则。
2.考核内容
（1）理解行列式的概念，熟练掌握行列式的基本性质，掌握方阵行列式性质与矩阵 初等变换的关系，并能熟练利用行列式的性质计算行列式。
（2）理解余子式、代数余子式的概念，熟练掌握方阵行列式按一行（列）展开的公 式，并熟练应用行列式展开式计算行列式。
（3）理解伴随矩阵的概念，掌握使用公式法求矩阵的逆矩阵的方法，知道克拉默 (Cramer)法则。
（四）矩阵的秩与线性方程组（不超过 30 分）
1.考核知识点
向量组的线性相关性；向量组的秩；矩阵的秩，线性方程组解的结构。
2.考核内容
（1）理解向量组的线性相关性的定义及性质，熟练掌握向量组线性相关性的判别。
（2）理解并掌握向量组等价、向量组极大线性无关组和向量组的秩的概念和性质，会利
用向量组的秩判别向量组的线性相关性。
（3） 理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵的秩、向量组的秩的性质及求法，并熟练掌握求向量 组的线性关系、矩阵的秩等，掌握矩阵的秩的一些简单的等式和不等式。
（4）理解线性方程组解的结构，掌握解的性质，理解齐次线性方程组基础解系的概念，并能 熟练求出齐次线性方程组的基础解系，熟练掌握线性方程组的通解的求法。
（五）线性空间（不超过 20 分）
1.考核知识点
线性空间；子空间；生成元集，线性空间的基与维数；线性空间的基变换和坐标变 换；子空间直和；线性空间的同构。
2.考核内容
（1）理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否线性空间。
（2）理解线性子空间的定义及判别定理，理解子空间的交与和的概念及性质。
（3）理解线性空间的基和维数的概念及性质，掌握线性空间维数与子空间维数的关 系，掌握维数公式；理解和掌握基变换与坐标变换公式。
（4）理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件，懂得判定两个子空间的和是 否直和。了解线性空间同构的概念、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
（六）线性变换与相似矩阵（不超过 30 分）
1.考核知识点
线性变换的定义及其性质；线性变换的矩阵与相似矩阵；线性变换（矩阵）的特征 值和特征向量；可对角化条件；不变子空间与根空间分解。
2.考核内容
（1）理解线性变换、值域和核的定义及其性质，掌握线性变换的运算。
（2）掌握线性变换与矩阵的关系，理解矩阵相似的概念及其性质，熟练掌握线性变 换（矩阵）特征值和特征向量的求法，并能应用特征值和特征向量进行简单的矩阵计算。
（3）理解矩阵可对角化的定义，掌握矩阵可对角化的判别条件，知道哈密顿-凯莱 定理，懂得矩阵最小多项式的定义及其性质；
（4）了解不变子空间的定义及性质，理解线性空间的根子空间分解定理。
（七） λ-矩阵（不超过 15 分） 1.考核知识点
λ-矩阵；λ-矩阵在初等变换下的标准形；不变因子；矩阵相似的条件；初等因子；
若尔当标准形的理论推导；矩阵的有理标准形。
2.考核内容
（1）理解λ-矩阵的概念，理解并掌握λ-矩阵的初等变换、行列式因子、不变因子、 初等因子的概念及其它们之间的关系。
（2）理解并掌握方阵的有理标准形和若尔当标准形的概念及其求法，掌握矩阵相似 的判别。
（八）内积空间 （不超过 30 分）
1.考核知识点
内积空间的定义与基本性质；标准正交基与矩阵的QR 分解；正交子空间与最小二 乘法；正交变换；实对称矩阵与酉相似标准形。
2.考核内容
（1）理解内积空间的概念和性质，理解和掌握正交向量组、标准正交基的概念和性 质，掌握施密特正交化方法和可逆矩阵的 QR 分解方法。
（2）理解子空间正交及正交补的概念和性质，理解掌握正交变换的定义和性质，对 称变换（对称矩阵）的性质以及求对称矩阵的正交相似标准形，会用正交变换化二次型 为标准形。
（九）双线性函数与二次型（不超过 20 分）
1.考核知识点
双线性函数与二次型；化二次型为标准形；规范形与惯性定理；正定二次型与正定 矩阵。
2.考核内容
（1）理解双线性函数的概念及性质，了解双线性函数与二次型的关系。
（2）掌握二次型的标准形及其求法，会求实（复）数域上二次型的规范形，掌握惯 性定理。
（3）正定二次型（矩阵）及其判别。
四、主要参考书目
（一）同济大学数学系．高等代数与解析几何（第二版）.高等教育出版社, 2016.
（二）北京大学数学系前代数小组．高等代数（第五版）．高等教育出版社, 2014.
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