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佛山大学 2025 年硕士研究生招生考试大纲 科目名称：复变函数
一、考查目标
复变函数课程的考试目的旨在了解考生对本门课程中的基本概 念、方法与理论的掌握程度，为学习相关的专业知识提供必要的理论 基础。
二、考试形式与试卷结构
考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分 钟，其中 5 道简答题（100 分）。
三、考查范围
第一章 复数与复变函数
复数及其运算、几何表示；复平面上的点集、区域、曲线、集与集之间的距 离，区域的连通性等相关概念；复变函数的极限和连续。
第二章 解析函数
解析函数的概念，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件；常见的初等 函数：幂函数，根式函数，指数函数，三角函数，反三角函数以及一般幂函数与 一般指数函数。
第三章 复变函数积分
复变函数积分的定义、基本性质以及复变函数积分的计算；柯西积分定理及 其推广（单连通，复连通）； 柯西积分公式及其推论、解析函数的无穷可微性 以及一些相关重要定理；调和函数概念，解析函数与调和函数的关系。
第四章 解析函数的幂级数表示法
复级数的基本性质；Abel 定理，幂级数的收敛半径求法，和函数的解析性，
Taylor 展开式，解析函数的级数展开举例；解析函数零点的孤立性，解析函数 的唯一性定理，最大模原理。
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点
罗朗级数与泰勒级数之间的关系，解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式； 可去奇点、极点、本性奇点的定义及判别，理解掌握席瓦尔兹引理，毕卡定理， 解析函数在无穷远点邻域的性质，整函数与亚纯函数概念及其简单性质。
第六章 留数理论及其应用
留数的概念，留数定理，留数的求法以及无穷远点的残数；利用留数定理计 算四种主要类型实积分；对数留数，掌握辐角原理，儒歇定理及其应用。
第七章 保形映射
单叶解析函数的映射性质；分式线性函数及其映射性质：分式线性函数、分 式线性函数的映射性质、两个特殊的分式线性函数；黎曼定理：最大模原理、施 瓦茨引理、黎曼定理及边界对应概念。
参考书目：
[1] 钟玉泉，《复变函数论》，高等教育出版社，2004 年.
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