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2025年硕士研究生复试科目考试大纲
（同等学力考生加试科目）
考试科目代码：[J229]
考试科目名称：泛函分析
一、考核目标
主要考察考生掌握度量空间和赋范线性空间、有界线性算子与连续线性泛函、内积空间和Hilbert空间理论、巴拿赫空间和线性算子的谱的基本概念和基本理论、思想和方法。
二、试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为120分钟。
（二）答题方式：闭卷、笔试。
（三）题型：解答题、证明题。
三、考试内容
1、度量空间和赋范线性空间
度量空间的概念、度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映射、柯西点列和完备度量空间、线性空间、赋范线性空间和巴拿赫空间的基本概念和基本理论；不动点、压缩映射原理及其应用。
2、有界线性算子与连续线性泛函
有界线性算子和连续线性泛函、有界线性算子空间和共轭空间的基本概念与和基本理论；有限秩算子的基本概念与和基本理论。
3、内积空间和希尔伯特空间
内积空间的基本概念、投影定理、希尔伯特空间中的规范正交系、希尔特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子基本概念与基本理论。
4、巴拿赫空间中的基本定理
C[a, b]的共轭空间、共轭算子、强收敛、弱收敛和一致收敛，泛函延拓定理、纲定理和一致有界性定理、逆算子定理、闭图像定理及其应用的基本概念与基本理论。
5、线性算子的谱
谱的概念、有界线性算子谱的基本性质、自伴全连续算子的谱论、费雷德霍姆算子与指标，紧集和全连续算子。
四、主要参考书目
1、程其襄等． 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]． 北京：高等教育出版社，2019.
2、张恭庆 林源渠． 泛函分析讲义[M]． 北京：北京大学出版社，2001.
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