南京航空航天大学2025年考研大纲：008数学学院-(580)数学综合

参考书目

数值分析：《数值分析》（第五版）李庆扬等编，清华大学出版社

常微分方程：《常微分方程》（第三版）王高雄编，高等教育出版社

数学综合（数值分析和常微分方程各占1/2）

考试大纲

I. 数值分析

1)绪论

误差的基本概念，稳定性，收敛性及相容性；

2)插值法

插值多项式的存在唯一性，拉格朗日插值、牛顿插值及三次样条插值多项式；

3)函数逼近与计算

最佳一次逼近、最佳平方逼近多项式，曲线拟和的最小二乘法；

4)数值积分

梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式及相应的复化求积公式，龙贝格公式；

5)方程求根

二分法，一般迭代法，牛顿迭代法，弦截法，迭代法的收敛性

6)线性方程组的求解方法

高斯（主元）消去法，向量和矩阵的范数，矩阵的条件数，误差分析，雅克比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，迭代法的收敛性；

7)常微分方程的数值解法

改进的欧拉公式，龙格-库塔公式及二阶龙格-库塔公式精度分析，单步法的收敛性和稳定性。

II. 常微分方程

《常微分方程》是数学专业的基础课，也是常微分方程学科本身近现代发展方向的基础。考试以经典传统内容为主要部分，也包括稳定性理论问题中的重要内容。

具体涉及

1）一阶常微分方程的初等解法：分离变量法；常数变易法；积分因子法等。

2）一阶常微分方程解的存在唯一性定理，近似计算和误差估计等。

3）高阶常微分方程：常系数微分方程的解法；非齐次线性微分方程拉普拉斯法，高阶微分方程的降阶解法等。

4）线性常微分方程组：线性微分方程组的存在唯一性定理；常系数线性微分方程组的求解等。

5）非线性常微分方程和稳定性：稳定性的基本概念；相平面；非线性微分方程组的稳定性与其线性近似方程组；李雅普诺夫第二方法等