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2025年硕士研究生复试科目考试大纲
（跨专业考生加试科目）
考试科目代码：[J212]
考试科目名称：数学综合（实变函数、近世代数）
一、考核目标
主要考察考生是否掌握了实变函数和近世代数的基本概念、基本理论和基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为120分钟。
（二）答题方式：闭卷、笔试。
（三）试卷内容及比例：实变函数（约占50%）；近世代数（约占50%）。
（四）题型：解答题、证明题。
三、考试内容
（一）实变函数部分（约占50%，50分）
1、集合的基本运算；集合序列的上、下限集。集合的势的定义，势的性质，势的比较。常见集合的势及其基本性质；
2、n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握Cantor集；
3、外测度概念，外测度与体积的关系，可测集的定义及其性质，包括可测集经交、并、差运算后的可测性，可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集类；Lebesgue可测集的结构；
4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和它们之间的关系；
5、一般可测函数积分的定义，Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收敛定理及其应用，Riemann可积的充要条件。掌握L 积分的概念,理解L 积分和R 积分的关系.掌握L 积分的性质,对有关L 积分的三个极限定理及其应用。主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本方法，包括集合的势与对等、Borel集类、Lebesgue测度、可测函数、可测函数的收敛、Lebesgue积分等的基本概念；集合序列的上下限集、可测集经交并差运算、Lebesgue积分等的计算方法，Cantor 集的构造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”之间的关系，Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，Lebesgue积分的极限定理等；以及是否具备运用基本理论和基本方法，分析解决问题的能力。
（二）近世代数部分（约占50%，50分）
1、基本概念：单(满)射的概念与刻画，代数运算的概念与算律，等价关系与集合分类的概念与相互关系。
2、群：半群，群，元素的阶，循环群，变换群，置换群，子群，子群的陪集，正规子群，商群，同态基本定理与同构定理。
3、环与域：环的概念，子环，理想与商环，同态基本定理，同构定理，素理想与极大理想，商域，多项式环。
4、整环里的因子分解：不可约元，素元，最大公因子，唯一分解环，主理想环、欧氏环.
四、参考教材
1、程其襄等． 实变函数与泛函分析基础（第三版）[M]． 北京：高等教育出版社，2010.
2、郑维行、王声望． 实变函数与泛函分析概要（第三版）[M]． 北京：高等教育出版社，2005.
3、张禾瑞，近世代数基础[M]. 北京：高等教育出版社，1997年.
4、朱平天，李伯葓，邹园，近世代数（第二版）[M]. 北京：科学出版社，2009.
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