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数学学院2025年研究生考试大纲
815《数学分析》考试大纲（学术型）
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一章 实数集与函数
一．考核知识点
1. 实数
2．数集与确界原理
3．函数概念
4. 具有某些特性的函数
二．考核要求
(一) 实数
1．实数及其性质（包括：有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系等）。
2．绝对值的定义及性质，利用绝对值的性质证明简单的不等式。
3．比较实数的大小，在数轴上表示不等式的解。
4．利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，解简单的不等式。
（二）数集与确界原理
1．区间与邻域定义及表示法，用区间表示不等式的解。
2．有界集、无界集的定义，数集的有界性的证明。
3. 确界的定义，数集的上（下）确界的求解，数集的上（下）确界问题的证明等。
4．确界原理及其在数集的有界性的证明中的应用。
（三）函数概念
1．函数的定义、表示法、函数概念的两大要素。整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数等。
2. 函数的四则运算及能够进行四则运算的条件。
3. 复合函数、分段函数定义、表达式及其图像。
4. 反函数定义、存在的条件及其求解。
5．六类基本初等函数的定义及图像。
6. 求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，证明有关的不等式，建立简单应用问题的函数关系。
（四）具有某些特性的函数
1．有界函数和无界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数等的定义及其图像的性质。
2．判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
3．利用函数的各种特性解决简单的应用问题。
第二章 数列极限
一．考核知识点
1．数列极限概念
2．收敛数列的性质
3．数列极限存在的条件
二．考核要求
(一) 数列极限概念
1．数列的收敛性概念，数列极限的<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>定义，数列极限的几何意义。
2． 数列极限的“<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>”定义，用“<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>”定义证明数列的极限以及“<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>” 语言的否定说法。
3．通过观察法判断数列的收敛性。
4．用“<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>”语言证明数列极限的存在性。
(二) 收敛数列的性质
1．收敛数列极限性质(包括：唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则等)及其证明，数列子列的概念。
2．运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。
3．运用收敛数列的性质证明和判断各种数列问题。
(三) 数列极限存在的条件
1．单调有界原理与柯西收敛准则的实质及其否定命题。
2．单调有界原理和柯西收敛准则在极限问题证明中的应用。
第三章 函数极限
一．考核知识点
1．函数极限概念
2．函数极限的性质
3．函数极限存在的条件
4．两个重要的极限
5．无穷小量与无穷大量
二．考核要求
(一) 函数极限概念
1． <Object: word/embeddings/oleObject6.bin>和<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>时函数极限的定义。
2． <Object: word/embeddings/oleObject8.bin>（<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>）（A 为 或有限）的“<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>”（“<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>”） 定义的逻辑结构及证明函数极限。
3. “<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>” 定义和“<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>” 定义的否定说法。
4. 单侧极限的定义，以及判定极限<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>存在的充要条件。
5．用极限存在的充要条件判断并证明极限的存在性。
（二）函数极限的性质
1．函数极限的性质(包括：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性法则、四则运算法则等)及其证明。
2．函数极限的性质在函数性质的证明和函数极限的计算中的应用。
(三) 函数极限存在的条件
1．归结原则和柯西收敛准则。
2．归结原则和柯西收敛准则在函数极限存在性证明中的应用。
3．柯西收敛准则的否定命题及其在函数极限存在性判定中的应用。
(四) 两个重要的极限
1．极限<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>及其证明。
2．两个重要极限在函数极限计算中的应用。
(五) 无穷小量与无穷大量
1．无穷小量和无穷大量的概念、性质、关系。
2．无穷小量阶的比较。
3．无穷小量和无穷大量在极限计算及曲线的渐近线等问题中的应用。
第四章 函数的连续性
一．考核知识点
1．连续性概念
2．连续函数的性质
3．初等函数的连续性
二．考核要求
(一) 连续性概念
1．函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类。
2．函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件。
3．函数连续性的判定及证明。
(二) 连续函数的性质
1．连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性。
2．函数的连续性在极限求解中的应用。
3．函数的一致连续性和非一致连续性，以及相关问题的证明。
4. 闭区间上连续函数的基本性质在问题求解中的应用。
(三) 初等函数的连续性
1．基本初等函数的连续性及其证明。
2．初等函数在其定义域内的连续。
3．初等函数间断点的类型的判断。
4．分段函数间断点的类型的判断。
第五章 导数与微分
一．考核知识点
1．导数的概念
2．求导法则
3．参变量函数的导数
4．高阶导数
5．微分
二．考核要求
(一) 导数的概念
1．导数的定义，导函数。
2．函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系。
3．函数的平均变化率，以及曲线切线和法线方程的求解。
4．分段函数的导数的求解，导数概念在证明曲线的几何性质中的应用。
（二）求导法则
1．导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式。
2．导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明。
3．用求导法则计算函数的导数。
(三)参变量函数的导数
1．参变量函数的导数的定义、几何意义。
2．参变量函数所确定函数的导数的计算。
3．利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质。
(四)高阶导数
1．高阶导数、高阶导函数的定义。
2．函数（包括参变量函数）的高阶导数的计算。
3．莱布尼茨公式及其在高阶导数计算中的应用。
(五)微分
1．微分概念、几何意义。
2．导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性。
3．函数的微分的计算。
4．函数的高阶微分的计算，以及微分在近似计算中的应用。
第六章 微分中值定理及其应用
一．考核知识点
1．拉格朗日定理和函数的单调性
2．柯西中值定理和不定式极限
3．泰勒公式
4．函数的极值与最大(小)值
5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论
二．考核要求
(一) 拉格朗日定理和函数的单调性
1．罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法、几何意义。
2．函数单调性。
3．利用罗尔中值定理和拉格朗日中值定理求简单函数的中值点、证明函数的单调性。
4．利用拉格朗日中值定理和函数的单调性证明某些恒等式和不等式，
(二)柯西中值定理和不定式极限
1．柯西中值定理及其证明方法。
2．不定式的极限及其计算方法。
3．利用柯西中值定理证明某些带中值的等式。
(三)泰勒公式
1．泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式。
2．泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系。
3．六种函数的麦克劳林公式，余项估计。
4．泰勒公式在极限计算和近似计算上的应用。
(四)函数的极值与最大〔小〕值
1．函数的极值与最大〔小〕值，取极值的必要条件，驻点。
2．判断极值的两个充分条件。
3．函数极值与最大〔小〕值的计算，及其在某些不等式证明和实际问题求解中的应用。
(五)函数的凸性与拐点，函数图像的讨论
1．函数的凸性与拐点的概念及判定。
2．凸函数的概念以及判定条件。
3．简单函数的图像性质。
4．函数的凸性在不等式证明中的应用。
第七章 实数的完备性
一．考核知识点
1. 关于实数集完备性的基本定理
二．考核要求
(一)关于实数集完备性的基本定理
1．实数集完备性的意义，有理数集不满足完备性定理的原因。
2．实数集完备性的几个基本定理（包括：确界原理、柯西收敛准则、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理）及其证明方法。
3．数集的聚点、确界。
4. 基本定理在问题证明中的应用。
5．实数集完备性的几个基本定理的等价性证明。
第八章 不定积分
一．考核知识点
1．不定积分概念与基本积分公式
2．换元积分法与分部积分法
3．有理函数和可化为有理函数的不定积分
二．考核要求
(一)不定积分概念与基本积分公式
1．原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表。
2．原函数与导数的关系，不定积分的基本性质、几何意义。
3．简单初等函数的不定积分的求解。
4．根据不定积分的几何意义求曲线方程。
(二)换元积分法与分部积分法
1．换元积分法，分部积分法。
2．换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系。
3．用换元积分法与分部积分法计算函数的不定积分、证明递推公式。
(三)有理函数和可化为有理函数的不定积分
1．有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分的计算。
第九章 定积分
一．考核知识点
1．定积分概念和性质
2．可积条件
3．微积分学基本定理和定积分的计算
二．考核要求
(一)定积分概念和性质
1．定积分的实际背景，黎曼积分和，构造积分和的方法。
2．定积分的定义、几何意义，用定积分定义计算简单函数的定积分和某些复杂和式的极限。
3．定积分的性质，利用定积分的性质比较积分的大小、估计积分值、证明不等式、论证函数的某些性质等。
(二) 可积条件
1．可积的必要条件和充分条件，可积函数类。
2．达布和，可积准则及其证明方法。
3．函数的可积性的判定及证明。
(三)微积分学基本定理和定积分的计算
1．变上限定积分所确定的函数及其性质。
2．微积分学基本定理，原函数的存在性。
3．用牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等计算定积分。
第十章 定积分的应用
一．考核知识点：
平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面的面积,定积分在物理中的某些应用
二．考核要求
1．用定积分表达和计算一些几何量和物理量。
2．微元法及其应用。
3．计算平面图形的面积, 由平行截面面积求体积, 求平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面的面积等。
第十一章 反常积分
一．考核知识点
1．反常积分概念
2．无穷积分的性质与敛散判别
3．瑕积分的性质与敛散判别
二．考核要求
(一)反常积分概念
1．两类反常积分的定义。
2．反常积分即变限定积分的极限。
(二)无穷积分的性质与敛散判别
1．无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛。
2．比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法等。
3．无穷积分的计算、敛散性判别。
4．用无穷积分的性质和判别法论证相关问题。
(三)瑕积分的性质与敛散判别
1．瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛。
2．比较判别法等。
3．瑕积分的计算，敛散性判别。
4．用瑕积分的性质和判别法论证相关问题。
第十二章 数项级数
一．考核知识点
1．级数的收敛性
2．正项级数
3. 一般项级数
二．考核要求
(一)级数的收敛性
1．数项级数的定义。
2．级数收敛、发散的概念, 收敛级数的性质，以及收敛性的判定。
3．级数收敛的柯西准则，以及用柯西准则讨论级数的收敛性。
(二) 正项级数
1．正项级数收敛的必要条件、比较原则、比式判别法，根式判别法和积分判别法等。
2．正项级数的收敛性的判别。
3．正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法在相关问题中的应用。
（三）一般项级数
1．交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法。
2．绝对收敛级数的性质、运算及重排。
3．狄利克雷判别法，阿贝尔判别法等。
4．一般项级数的收敛性的判别。
第十三章 函数列与函数项级数
一．考核知识点
1．一致收敛性
2．一致收敛函数列与函数项级数的性质
二．考核要求
(一)一致收敛性
1．函数列与函数项级数的一致收敛性的定义、否定叙述、充要条件。
2．一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法。
3．函数列的一致收敛性判定（用一致收敛性的定义，柯西准则等判别法）。
4. 函数项级数的一致收敛性判定（用柯西准则，余项准则，优级数判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法等）。
(二)一致收敛函数列与函数项级数的性质
1．一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数。
2．连续性，可积性，可微性定理。
3．函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性的判定。
4．和函数的分析性质的证明，函数项级数的积分等的计算。
第十四章 幂级数
一．考核知识点
1．幂级数
2．函数的幂级数展开式
二．考核要求
(一)幂级数
1．幂级数的定义、性质。
2．幂级数的计算，幂级数的收敛半径及计算。
(二)函数的幂级数展开式
1．泰勒级数和麦克劳林级数。
2．利用六个常用的初等函数的麦克劳林级数展开式，把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数。
第十五章 傅里叶级数
一．考核知识点
1．傅里叶级数
2．以2L为周期的函数的展开式和收敛定理的证明
二．考核要求
(一)傅里叶级数
1．傅里叶级数及其性质。
2．以2L为周期函数的傅里叶级数及其性质。
3．利用傅里叶级数收敛定理把函数展开成傅立叶级数。
(二) 以2L为周期的函数的展开式和收敛定理的证明
1．正、余弦函数基本性质。
2．2L为周期的函数的性质。
3. 收敛定理及证明。
4．以2L为周期的函数的傅里叶级数的展开式。
第十六章 多元函数的极限与连续
一．考核知识点
1．平面点集与多元函数
2．二元函数的极限和连续性
二．考核要求
(一)平面点集与多元函数
1．平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等完备性定理等。
2．二元函数和二元函数极限的定义，定义域（包括：集合表示、几何图形及点集类型）。
3. 平面点集的聚点与界点。
(二)二元函数的极限和连续性
1．二元函数的极限和连续性的概念。
2．累次极限和二重极限的计算、区别与联系。
3．二元函数的连续性判定。
第十七章 多元函数微分学
一．考核知识点
1．可微性
2．复合函数微分法
3．方向导数与梯度、泰勒公式与极值问题
二．考核要求
(一)可微性
1．可微与全微分定义。可微性的几何意义及应用。
2．可微性条件，二元函数的可微性的判定。
3．函数的偏导数与全微分的求解。
(二) 复合函数微分法
1．复合函数的有关定义。
2．复合函数的求导法则与复合函数的全微分。
3．复合函数的偏导数与全微分的求解。
（三）方向导数与梯度、泰勒公式与极值问题
1．方向导数与梯度的定义。
2．中值定理和极值充分条件。
3．方向导数、梯度、高阶偏导数等的计算。
4．泰勒公式在极值问题中的应用。
第十八章 隐函数定理及其应用
一．考核知识点
1．隐函数及隐函数组
2．几何应用和条件极值
二．考核要求
(一)隐函数及隐函数组
1．隐函数及隐函数组的概念，反函数组，坐标变换。
2．隐函数定理和隐函数组定理及其应用。
3．隐函数及隐函数组的偏导数与全微分的计算。
(二) 几何应用和条件极值
1．平面曲线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。
2．条件极值，拉格朗日乘数法。
3．拉格朗日乘数法在函数的条件极值问题中的应用。
第十九章 含参量积分
一．考核知识点
1．含参量正常积分
2．含参量反常积分与欧拉积分
二．考核要求
(一)含参量正常积分
1．含参量积分的定义及性质（包括：连续性、可微性、可积性等）。
2．利用先微后积或先积后微方法求解函数的积分问题。
(二)含参量反常积分与欧拉积分
1．含参量反常积分的定义、性质、计算及一致收敛性证明。
2．欧拉积分的定义及其性质，Γ函数与Β函数的计算。
第二十章 曲线积分
一．考核知识点
1．第一型曲线积分
2．第二型曲线积分
二．考核要求
(一)第一型曲线积分
1．第一型曲线积分的定义及性质。
2．第一型曲线积分的计算。
(二)第二型曲线积分
1．第二型曲线积分的定义及性质。
2．第二型曲线积分的计算。
3．第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系。
第二十一章 重积分
一．考核知识点
1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
2．格林公式?曲线积分与路线的无关性
3．二重积分的变量变换与三重积分
4．重积分的应用
二．考核要求
(一) 二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
1．二重积分的概念、性质及其存在性判定。
2．二元函数的可积性定理。
3．直角坐标系下的二重积分和平面图形所围的区域的面积的计算。
(二) 格林公式?曲线积分与路线的无关性
1．连通区域的概念。
2．格林公式，积分与路线的无关性定理。
3．验证积分与路线无关并求积分。
4．应用格林公式计算曲线积分。
(三) 二重积分的变量变换与三重积分
1．二重积分的可积函数类与性质。
2. 用变量变换、极坐标变换计算二重积分。
3．三重积分的概念，三重积分换元法。
4. 化三重积分为累次积分，计算三重积分及累次积分。
(四)重积分的应用
1.重积分在曲面面积、质心、转动惯量计算上的应用。
第二十二章 曲面积分
一．考核知识点
1．第一型曲面积分和第二型曲面积分
2．高斯公式与斯托克斯公式
二．考核要求
(一)第一型曲面积分和第二型曲面积分
1．第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系。
2．第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算。
3．用第一型曲面积分求重心、第二型曲面积分等。
(二) 高斯公式与斯托克斯公式
1．高斯公式和斯托克斯公式及其证明。
2．用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分。
3．求全微分的原函数。
参考书目：数学分析，华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
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