众所周知，考研大纲是全国硕士研究生考试命题的重要依据，也是考生复习备考必不可少的工具书。今天，小编为大家整理了“湘潭大学2025年考研大纲：009002数学基础综合”的相关内容，谢谢您的关注。
考试大纲一、试卷结构
试卷内容包含复变函数、常微分方程、数值分析、运筹学、概率论等方面知识。
二、考试大纲
1、复变函数
重点考核学生对复变函数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：
1．复数与复变函数：(1)掌握复数的四则运算、指数形式（三角形式）、乘幂与方根，理解辐角函数的多值性。(2)掌握复变函数的概念、求极限和连续性的判断。(3)掌握复平面中平面点集的相关概念。(4)理解复球面和无穷远点。
2．解析函数：(1)理解复变函数可导和解析的定义，掌握柯西-黎曼方程并能够运用相应的充要条件来判断函数的可导性和解析性，掌握导数的基本性质。(2)掌握初等单值解析函数，包括整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数。(3)掌握初等多值函数，包括根式函数、对数函数、一般幂函数、一般指数函数、反三角函数和反双曲函数。(4)掌握多值函数中关于支点、割线、单值分支的概念和作用，并能对于一类特殊的多支点函数（多项式开N次方）得到相应的单值解析分支。
3．复变函数的积分：(1)了解复积分的基本概念和基本性质。(2)掌握柯西积分定理，掌握原函数不定积分，了解柯西积分定理在复周线上的情形。(3)掌握柯西积分公式和高阶导数公式，了解解析函数的无穷可微性、刘维尔定理和莫雷拉定理。(4)了解解析函数与调和函数的关系，能够在已知实部或虚部的情况下求出相应的解析函数。
4．解析函数的幂级数表示法：(1)了解复级数的基本性质，收敛与一致收敛性。(2)掌握幂级数的敛散性、收敛半径以及和函数的性质。(3)了解泰勒展开与解析区域的关系，能够使用直接法或间接法对一些初等函数进行泰勒展开。(4)理解零点的孤立性、解析函数的唯一性定理和最大模原理。
5．解析函数的洛朗展式与孤立奇点：(1)掌握解析函数的洛朗展式，能够按照要求将初等函数在规定圆环域内展开成洛朗级数的形式。(2)掌握孤立奇点的三种类型及其性质，并能够对给定的奇点判断它的类型，掌握施瓦茨引理。(3)能够判断无穷远点的奇点性质。(4)了解整函数与亚纯函数的概念及其性质。
6．留数理论及其应用：(1)掌握有界点和无穷远点留数的求法，并用其求解周线上的复积分。(2)运用留数计算一些特殊类型的实积分（第六章第2节中所提到的前三种类型）。(3)掌握辐角原理和儒歇定理的应用。
7．共形映射：(1)掌握解析变换的特征，导数的几何意义，单叶解析函数的基本性质。(2)掌握分式线性变换和某些初等函数所构成的共形映射，并能够对给定的两个单连通区域，写出相应的共形映射。
2、常微分方程
重点考核学生对常微分方程的基本概念、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下:
1， 一阶微分方程的初等解法: 掌握利用变量分离与变量变换的方法来解变量分离方程和可以化为变量分离方程的方程类型; 会用常数变易法来解线性方程; 了解恰当方程、积分因子的概念，会解恰当方程或通过选取合适的积分因子来求解非恰当方程; 掌握几类一阶隐方程的类型和解法。
2， 一阶微分方程的解的存在定理: 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式; 掌握解的延拓定理的条件和结论; 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
3， 高阶微分方程: 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，理解n阶非齐次线性微分方程的常数变易法; 熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数法; 掌握n阶常系数非齐次线性微分方程特解的比较系数法;掌握几类可降阶的高阶方程类型和降阶解法以及幂级数解法。
4， 线性微分方程组: 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理, 掌握一阶齐次（非齐次）线性微分方程组解的性质与结构; 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系; 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法; 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念, 掌握求基解矩阵的方法; 掌握常系数线性微分方程(组)的拉普拉斯变换法。
3、数值分析
重点考核学生对数值分析的基本概念、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：
1. 引论：绝对误差、相对误差、有效数字、误差的传播、算法的数值稳定性；
2. 多项式插值：代数多项式插值定义、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式、插值误差、分段低次多项式插值、三次样条函数插值；
3. 最佳逼近：线性赋范空间的最佳逼近及存在性定理、最佳一致逼近多项式 最小偏差于零的多项式-切比雪夫多项式、内积空间的最佳逼近、最佳平方逼近与正交多项式、数据拟合的最小二乘法；
4. 数值积分与数值微分：插值型求积公式、代数精度、Newton-Cotes求积公式、复化求积公式、数值积分公式误差、基于复化梯形公式的高精度求积算法、Gauss型求积公式、数值微分法；
5. 线性代数方程组解法：Gauss消去法、矩阵三角分解、矩阵条件数、扰动分析、病态方程组、解线性方程组迭代法、迭代法收敛性、最速下降法、共轭梯度法；
6. 矩阵特征值问题解法：乘幂法、反乘幂法、Household方法、QR方法、实对称矩阵特征值问题的解法；
7. 非线性方程的数值解法：二分法、简单迭代法、迭代法收敛性分析、牛顿类迭代法及收敛性；
8. 常微分方程数值解法：Euler方法、线性多步方法、Runge-Kutta方法；
4、运筹学
重点考核学生对运筹学中部分数学模型的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：
（一）规划论
（1）运筹学概论
运筹学的内涵、原则、工作步骤、建模方法，运筹学的应用。
（2）线性规划与单纯形
线性规划问题建模与单纯形法求解。
（3）对偶问题与灵敏度分析
对偶问题与对偶单纯形法、灵敏度分析。
（4）运输问题
运输问题建模与表上作业法。
（5）线性目标规划
线性目标规划问题建模与求解。
（6）整数线性规划
整数线性规划问题建模、分支定界解法、割平面解法、0-1型整数线性规划、指派问题。
（7）非线性规划
局部极值和全局极值、梯度和海瑟矩阵、凸函数和凹函数、求解无约束非线性规划问题的梯度法。
（二）动态规划
动态规划的基本原理、动态规划建模、动态规划和静态规划的关系，顺序及逆序求解方法。
（三）图与网络优化
图和树的基本概念，最小树、最短路问题、最大流问题。
5、概率论
重点考核学生对概率论的基本概念、基本理论、基本方法和基本计算的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：
1.随机事件与概率：掌握随机事件的关系与运算，掌握古典概率、几何概率的计算，理解概率的公理化体系，会利用概率的性质对概率进行计算，掌握概率的加法公式、乘法公式、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式，会利用这些公式和性质计算一些复杂事件的概率，理解独立重复实验概型和贝努利概型。
2.随机变量及其分布：理解随机变量及其分布的概念，理解分布函数的概念及其性质，理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握常见离散型随机变量的概率分布及其应用，理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数的关系，掌握常见连续型随机变量及其应用，掌握求随机变量函数分布的方法。
3.多维随机变量及其分布：理解多维随机变量及其分布的概念，了解多维分布函数的概念及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布的求法，掌握二维连续型随机变量的联合密度、边缘密度、条件密度的求法，会验证多维随机变量的独立性，会求二维随机变量简单函数的分布；
4.随机变量的数字特征：掌握数学期望、方差、矩、协方差、相关系数的定义及其计算，掌握常见分布的数学期望和方差并理解分布中参数的概率意义，了解条件期望的定义及计算；
5.特征函数与极限理论：掌握特征函数的定义、性质，会计算随机变量的特征函数，掌握随机变量序列的依概率收敛和按分布收敛，理解常见的大数定律，理解独立随机变量和的中心极限定理，会利用特征函数证明中心极限定理。
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