大连理工大学2025年考研大纲：710 单独考试数学

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大连理工大学 2025 年单独考试硕士研究生入学考试大纲 数学

单考“数学 ”试题分为客观题型和主观题型，具体复习大纲如下：

一、函数、极限、连续

1． 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。

2． 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。 当x → 0 时 x ~ sin x ~ ln(1+ x) ~ ex -1

3． 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼 准则、两个重要极限

1 利用连续性

2 两个重要极限

3 无穷小等价代换

2

当x → 0 时 x ~ sin x ~ ln(1+ x) ~ ex -1 1 - cos x ~

4 “ 1∞ ”型 f(x)g (x ) 利用重要极限式指数化

5 有理函数 极限

4.理解函数的连续性（含左连续与右连续）、会求函数间断点的类型。

理解续函数的性质和初等函数的连续性，能判断分段函数的连续性。

1．定义：如果 那么就称函数 y = f(x) 在点 x0 连续。0 Δy = 0

2 ．主要条件 由此可求两个参数）

4． 熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定

理、零点定理)。

二、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间 的关系、掌握平面曲线的切线和法线方程的计算方法。

导数定义

f’(x0 ) = a f-’(x0 ) = f+’(x0 ) = a f-’(x0 ) = -

可导必连续，连续未必可导

2. 掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。 初等函数求导公式（16 个求导公式，5 个求导法则）

（1） [u(x) ± v(x)]’= u’(x) ± v’(x)

（2） [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x) + u(x)v’(x) ， [cu(x)]’= cu’(x)

(4) 复合函数导数 y = f(u), u = g (x), y = f[g (x)] ， u 称为中间变量

（5） 参数方程求二阶导数 ，

3. 熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

例如：隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 y=y(x),方程两边对 x 求导，y 的函数看成 x 的 复合函数

4. 理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的 n 阶导数。

5. 熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。

6. 熟练理解并掌握利用洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限。

例如：洛必达法则：“ ， ”型

7. 理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (水平、铅直和斜渐近线)。

1．方法：利用最值，单调性证不等式

单调性：单调升： f(x1 ) ≤ f(x2 ) ，当 x1 < x2 时 单调降： f(x1 ) ≥ f(x2 ) ，当x1 < x2 时

f’> 0 ， f 单调升， f’< 0 ， f 单调降

利用单调性证不等式，证 f(x) < g(x) ， h(x) = f(x) — g (x) ， h(x0 ) = 0

2 ．求导时最多到二阶

8. 理解函数最大值和最小值并掌握其简单应用。

三、一元函数积分学

1. 理解原函数和不定积分的概念.

1 ．原函数：在区间上，若 F’(x) = f(x) ，称为的一个原函数。

2 ．不定积分：在区间 I 上， f(x) 的原函数的全体称为 f(x) 的不定积分，记为 ∫ f(x)dx = F (x) + c

2. 理解不定积分的基本性质、基本积分公式.

① ∫ kdx = kx + C(k 是常数) ② ∫ x μdx =

③ = ln | x | +C , ④ ∫ ax dx =

⑤ ∫ exdx = ex + C ⑥ ∫ cos xdx = sin x + C

= arctan x + C

3. 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理、理解变上限定积分确定的函 数并会求其导数、掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

例如dx = F

凑分法

掌握下列常用凑分法

分布积分法： ∫ udv = uv - ∫ vdu ∫ uv’dx = uv - ∫ u’vdx

掌握（1） ∫ xexdx = ∫ xdex = xex — ∫ exdx = xex — ex + c

∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = xsin x — ∫ sin xdx = xsin x + cos x + c

简化计算的技巧

例如：（1）1）若f(x) 在[—a, a] 上连续且为偶函数，则 dx = 2

2）若f(x) 在[—a, a] 上连续且为奇函数，则 dx = 0

2） In = sin n x dx 奇数.

3）换元法（结合凑微分法）

5. 掌握有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

6. 熟练掌握利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积.

四.常微分方程

1. 理解常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。

2. 熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利 (Bernoulli)方程的计算方法。

例如：形式 y’+ p 通解： y = e — ∫ P

3. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.

4. 掌握二阶常系数齐次线性的计算方法。

例如：二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 y’’+ py’+ qy = 0 ，其中常数。

解法：特征方程： r2 + pr + q = 0 ，特征根 通解 2 = α ± iβ

5. 熟练理解并掌握简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函 数， 以及它们的和与积的计算方法。

例如：二阶常系数线性非齐次方程通解 。标准型 y’’+ py’+ qy = Pm (x)eλx ，其中 p,q,λ常数 Pm (x) = a0 + a1x + … + am xm ， am ≠ 0

解法：通解 y(x) = Y(x)+ y* (x) ，其中 Y(x) 为对应齐次方程通解， y* (x) 为本身 的特解。

= xk Qm 其中k = = b0 + b1x + … + bmx m

6. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

五、多元函数微分学

1. 了解二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质。

2. 理解并掌握多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。

3. 熟练理解并掌握多元复合函数求二阶偏导数，会求隐函数的导数。 例如：多元复合函数求偏导数

设函数u =φ(x, y) 和v =φ(x, y) 在 (x, y) 点分别具有对 x 和 y 的偏导数，而对应的函 数 z = f(u, v) 在 相 应 的 (u, v) 点 具 有 对 u 和 v 的 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z = f(φ(x, y),φ(x, y)) 在 (x, y) 点具有对 (x, y) 的偏导数，且

同链相乘，分链相加

若u =φ(x, y) 和v =φ(x, y)二阶可偏导， z = f(u, v) 具有二阶连续偏导数，则

4. 理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。

例 如 ： (1) 方 向 导 数 ： 函 数 u = f (x , y , z) 在 P0 ( x0, y0 , z0 ) 点 沿 方 向

e l = (cosα, cos β, cosy) 的方向导数

（2）梯度：函数u =f (x , y , z)在 P0 ( x0, y0, z0 )点的梯度 grad uP0 = |( ?x , ?y , ?z , P0

5. 会求空间曲线的切线和法平面、 曲面的切平面和法线。

例如：1）空间曲线切线与法平面方程

设空间曲线 α ≤ t ≤ β在P0 (x0, y0, z0 ) 参数 t0 ，

切向量 = (x’(t0 ), y’(t0 ), z’(t0 )) ，切线方程

法平面方程： x’(t0 )(x — x0 ) + y’(t0 )(y — y0 ) + z’(t0 )(z — z0 ) = 0

2）空间曲面的切平面与法线方程

→

设空间曲面： F (x, y, z) = 0 在切点 P0 (x0, y0, z0 ) ，法向量 n = (Fx , Fy , Fz )P0 切平面方程： Fx P0 . (x — x0 ) + Fy P0 . (y — y0 ) + Fz P0 . (z — z0 ) = 0 ，

法线方程

6. 熟练理解并掌握多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、 最小值及其简单应用。

例如：条件极值问题可表述为：求函数u = f(x1, x2, … , xn ) 在条件 g(x1, x2, … , xn ) = 0 下的极值。

方法：构造拉格朗日函数 L(x1, x2, … , xn ,λ) = f + λg ，令Lx1 ， Lx2 ， … , Lxn = 0 ， Lλ = 0 ，解出 (x1, x2, … , xn ) ，代入 f(x1, x2, … , xn ) ，其中最大（小）者为最大（小） 值。

六、多元函数积分学

1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质、熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、极 坐标)、会计算三重积分 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

例如：1）积分区域 D 为 X－型区域 φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x) ， a ≤ x ≤ b

积分区域 D 为 Y－型区域φ1(y) ≤ x ≤φ2 (y) ， c ≤ y ≤ d

2）对于二重积分,如果区域D 关于 x 轴对称, 函数 f(x, y) 是关于 y 的奇函数(既

dσ = 0 ;

若是偶函数,则 dσ = 2

其中D1 是D 在 x 轴的上半部分

对于二重积分, 如果区域D 关于 y 轴对称, 函数f(x, y) 是关于 x 的奇函数(既

dσ = 0 ;

若是偶函数,则 dσ = 2

其中D2 是D 在 y 轴的右半部分

2. 理解两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算 方法。

3. 熟练掌握格林(Green)公式和平面曲线积分与路径无关的条件、会求二元函数全微

分的原函数。

例如：1）第二型曲线积分（平面曲线）

积分形式dx + Q 曲线积分与路径无关的充要条件之一是在D 内恒成立；

2）格林(Green)公式

其中L 是 D 的正方向边界曲线。

4. 了解两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分的计算方法，熟练掌握用高斯 公式计算曲面积分的方法。

例如：高斯（Gauss）公式

七、无穷级数

1. 了解常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念。 例如：两种级数

p — 级数1+ + …当p > 1时收敛，当 p ≤ 1时发散 （2）等比级数aq n = a + aq + aq 2 + … + aq n + … 当 | q |< 1收敛,且其和为 ;当 | q |≥ 1时,等比级数发散

2. 掌握级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件，掌握几何级数与 p 级数及其收敛 性，掌握正项级数收敛性的比较判别法，掌握交错级数并会用莱布尼茨(Leibniz) 判别法。

例如：1）正项级数的比值判别法：

正项级数 un ,un ≥ 0

2） 比值审敛法，（达朗贝尔（D’Alembert）判别法）设 为正项级数，如 果 = P, 则当 P < 1时级数收敛； P > 1 时级数发散；

P = 1时级数可能收敛也可能发散.

3．交错级数n —1un 的莱布尼茨定理判别法：若（1） un ≥ un+1 un = 0, 则级数收敛

4 （ 比较 审敛法 的极 限形式 ） 设 和 都是正项级数 ，(其 中

vn ≠ 0, n = 1,2, … ), 如果 lim 则

n →∞ v n

（1） 当 0 < l < ∞ 时，两个级数同时敛散；

当 l=0 时,若 vn 收敛,则 也收敛,若 un 发散，则 也发散.

当 l = +∞ 时,若 vn 发散,则 也发散;若 un 收敛,则 也收敛.

3. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。

5. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域。

例如：幂级数n , x ∈

（1）收敛半径，收敛域：如果 = P, 其中 an 、an+1 是幂级数 an xn 的相邻两

项的系数，则这幂级数的收敛半径开区间 (-R, R) 叫做幂级数

的 收 敛 区 间 。 再 由 幂 级 数 在 x = ±R 处 的 收 敛 性 就 可 以 决 定 它 的 收 敛 域 是 (-R, R)、[-R, R)、(-R, R] 或[-R, R] 这四个区间之一。

= 1 + x + x2 + … + xn + … = | x |< 1

6. 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，

熟练掌握简单幂级数的和函数的求法。

7. 理解初等函数的幂级数展开式，熟练掌握应用它们将简单函数间接展开成幂级数。

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