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数学学院2025年研究生考试大纲
601《高等代数》考试大纲
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一部分 一元多项式理论
一、考核知识点
（一）一元多项式
（二）整除性与最大公因式
（三）因式分解
（四）复系数、实系数、有理系数多项式
二、考核要求
（一）一元多项式
1、一元多项式及相关概念；
2、多项式的运算与次数的关系；
3、一元多项式的运算。
（二）整除性与最大公因式
1、多项式的整除及相关概念，最大公因式及相关概念；
2、整除的性质，带余除法，辗转相除法，最大公因式的性质，互素的性质；
3、计算最大公因式，使用整除性质、最大公因式的性质、互素的性质处理多项式问题。
（三）因式分解
1、不可约多项式概念，最小公倍式概念，重因式、根、重根等概念；
2、不可约多项式的性质，导数与重因式的关系，次数与根的个数的关系；
3、唯一分解定理，利用因式分解理论处理多项式的相关问题。
（四）复系数、实系数、有理系数多项式
1、复系数、实系数不可约多项式及因式分解定理，实系数多项式虚根特征；
2、本原多项式性质，有理系数多项式与整系数多项式在可约性上的关系，艾森斯坦因判别法，综合除法，有理系数多项式的有理根的判定；
3、应用复系数、实系数、有理系数多项式理论处理相关问题。
第二部分 行列式
一、考核知识点
（一）映射与变换
（二）置换的奇偶性
（三）行列式
（四）克拉默法则
二、考核要求
（一）映射与变换
1、映射、变换及相关概念；
2、映射的合成及运算律；
3、映射的可逆性。
（二）置换的奇偶性
1、置换奇偶性概念及其性质；
2、置换的表示方法；
3、置换的运算、分解。
（三）行列式
1、行列式的定义及相关概念；
2、行列式的性质及其计算；
3、行列式的几何意义。
（四）克拉默法则
1、克拉默法则内容及其证明；
2、利用克拉默法则解线性方程组。
第三部分 线性方程组与线性子空间
一、考核知识点
（一）消元法
（二）向量组的线性相关性
（三）线性子空间
二、考核要求
（一）消元法
1、矩阵、初等变换、线性方程组的有关概念；
2、消元法的思想；
3、解线性方程组及其解的结构。
（二）向量组的线性相关性
1、线性表示、线性相关、线性无关等基本概念；
2、线性相关性的相应结论；
3、判定向量组的线性相关性及其应用。
（三）线性子空间
1、线性子空间，基与维数；
2、基对子空间的意义；
3、子空间的判别，确定基和维数。
第四部分 矩阵
一、考核知识点
（一）向量组与矩阵的秩
（二）线性映射及矩阵
（三）矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
（四）矩阵分块
（五）初等矩阵
二、考核要求
（一）向量组与矩阵的秩
1、向量组的极大无关组、秩等概念，矩阵的行秩、列秩、子式、秩等概念；
2、向量组的秩、矩阵的秩相关的一些结论；
3、向量组的极大无关组、向量组和矩阵的秩的求法，利用矩阵的秩判断线性方程组解的情况。
（二）线性映射及矩阵
1、线性映射定义及其运算，矩阵的运算；
2、线性映射及矩阵的运算规律，线性映射与矩阵的对应关系；
3、利用线性映射的运算和矩阵的运算处理相关矩阵的某些问题。
（三）矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
1、矩阵的退化、非退化、可逆、非可逆、伴随等概念，矩阵乘积的行列式；
2、矩阵可逆与线性变换可逆性的关系；
3、计算可逆矩阵的逆矩阵。
（四）矩阵分块
1、矩阵分块的概念，分块对角矩阵的概念；
2、分块矩阵运算、性质及其应用。
（五）初等矩阵
1、初等矩阵的定义及其性质；
2、初等矩阵与初等变换的关系；
3、化矩阵为正规形，用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。
第五部分 线性空间与欧几里得空间
一、考核知识点
（一）线性空间
（二）欧几里得空间
（三）空间（线性空间和欧氏空间）分类思想
二、考核要求
（一）线性空间
1、线性空间定义及性质，子空间的和与直和的定义，维数定理；
2、子空间的和是直和的判别方法。
（二）欧几里得空间
1、欧几里得空间及其相关概念，正交变换及正交矩阵的概念，对称变换的性质、判别方法和应用；
2、施密特正交化方法，把线性无关向量组变为标准正交向量组；
3、正交变换的判定条件和性质，正交矩阵的判定条件和性质；
4、欧几里得空间中向量的度量性质。
（三）空间的分类思想
1、线性空间和欧氏空间的同构定义及其性质；
2、线性空间与欧几里得空间的分类。
第六部分 线性变换
一、考核知识点
（一）线性空间的基变换
（二）线性变换矩阵的化简
二、考核要求
（一）线性空间的基变换
1、线性变换性质，过渡矩阵、相似矩阵的概念；
2、基变换对坐标的影响和对线性变换矩阵的影响；
3、正确使用坐标变换公式。
（二）线性变换矩阵的化简
1、特征值、特征向量、特征多项式、不变子空间、特征子空间等概念；
2、线性变换矩阵的化简思想与方法；
3、判断具体线性变换是否可以对角化，处理有关特征值、特征向量、不变子空间的一些问题。
第七部分 二次型
一、考核知识点
（一）二次型基本性质
（二）二次型的标准形
（三）正定二次型
二、考核要求
（一）二次型基本性质
1、二次型定义及相关概念；
2、二次型的表示。
（二）二次型的标准形
1、二次型的非退化线性替换、标准形；
2、化二次型为标准形（包括非退化线性变换法和正交变换法）；
3、实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差，实二次型的分类；
4、合同矩阵的定义和性质；
5、矩阵的三种分类方法（矩阵等价、相似、合同）。
（三）正定二次型
1、正（负）定二次型（矩阵）的定义及其性质；
2、半正定、半负定的定义及其性质；
3、实二次型的正定性的判别法及其应用。
第八部分 多项式矩阵
一、考核知识点
（一）多项式矩阵
（二）若尔当典范形理论
二、考核要求
（一）多项式矩阵
1、多项式矩阵定义，初等变换与初等多项式矩阵，多项式矩阵的正规形；
2、初等多项式矩阵的意义；
3、化多项式矩阵为正规形。
（二）若尔当典范形理论
1、行列式因子，不变因子，初等因子；
2、行列式因子、不变因子、初等因子之间的关系，矩阵相似的判定条件；
3、复矩阵的若尔当典范形。
参考书目：
《高等代数》，北京大学数学系代数小组编，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
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