福州大学2025年考研大纲：611数学分析

基本内容:

第一篇 极限论

变量与函数，极限与连续，

实数的基本定理及闭区间上连续函数性质证明。

集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合运算的交换率、结合率、分配率，笛卡儿乘积，映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性与凸性。数列极限的 ξ-N定义，数列极限的唯一性，收敛数列的有界性，极限与四则运算，极限与不等式，单调有界原理，无穷小量与无穷大量。函数极限的定义，与数列极限性质相平行的函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，单侧极限与无穷远处的极限，复合函数的极限，两个重要的极限，无穷小量与无穷大量的阶。函数的连续与间断，单侧连续，函数连续的局部性质，连续函数的四则运算，反函数与复合函数的连续性。间断点的分类，初等函数的连续性，函数连续的整体性质。上、下确界，确界原理，单调有界原理，闭区间套定理，致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，实数系的公理体系。有界闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最值定理，介值定理。反函数连续性定理，一致连续性定理。

第二篇 单变量微积分学

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单变量微分学：

导数与微分，微分学基本定理及导数的应用。

导数及其几何意义，导数的四则运算，反函数与复合函数求导，参数方程所表示的函数与隐函数的求导，基本初等函数的导数，可导与连续的关系，单侧导数，高阶导数，Leibniz公式。线性函数与微分，微分与导数的关系，微分的四则运算，反函数与复合函数的微分， 一阶微分形式的不变性，高阶微分。

单变量积分学：

不定积分与定积分的概念、性质与计算，定积分存在的条件，定积分的应用。

原函数与不定积分，基本积分公式，运算法则。 不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些可有理化的函数的积分。达布上、下和，黎曼可积的充要条件，黎曼可积与函数运算，重要的可积函数类，黎曼积分的线性性质、可加性与正性，第一积分中值定理，变动上限积分所定义的函数的连续性与可微性。黎曼积分的计算：牛顿莱布尼兹公式，换元法与分步积分法，黎曼积分的近似计算。定积分的元素法与应用：面积、体积、弧长、旋转面的面积、重心、压力、功。泰勒公式，几何图象面积的计算，弧长的计算，旋转体体积的计算。Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。Taylor公式，Taylor公式的Peano余项及Lagrange余项。某些初等函数的Taylor展开式。微分学应用：待定型的定值法，函数的升降，极值，最值，凸性，拐点的判定，渐近线，函数的作图，曲率，曲率半径，曲率圆。

第三篇 级数

数项级数的性质与敛散性判别，反常积分性质与敛散性判别。

数列的上、下极限，部分和极限。数项级数收敛与发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的线性运算与结合率，柯西收敛原理。单调有界原理，正项级数审敛法：比较判别法，柯西根值法，达朗贝尔比值法，积分判别法。任意项级数审敛法：莱布尼兹判别法，阿贝尔变换与阿贝尔判别法，狄里克莱判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数。两类广义积分的收敛与发散，广义积分与级数，积分第二中值定理，比较判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法，狄里克莱判别法，积分主值。

2．函数项级数的性质与一致收敛性判别，幂级数，函数Fourier级数展开与Fourier变换。

函数项级数的一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，M判别法，狄里克莱判别法，狄尼定理，一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积。幂级数的收敛半径，柯西-阿达玛定理，阿贝尔第一、第二定理，幂级数的和函数的性质，函数的幂级数展开。Weierstrass定理。正交函数系，三角函数系的正交性，Fourier系数，Fourier级数。Dirichlet积分，Riemann引理，局部化定理，Dini判别法，Dirichlet判别法，函数的Fourier级数展开，Fourier级数的逐项求导与逐项求积。

第四篇

多变量微积分学

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多元函数的极限

与连续性。

邻域，开集，闭集，聚点，点列的极限，柯西收敛原理，致密性定理，有限覆盖定理，多元函数的极限与累次极限，函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质。二重极限和二次极限。

多变量微分学:

偏导数和全微分,极值和条件极值,隐函数存在定理、函数相关

。

偏导数及其几何意义， 全微分，连续可微、偏导数存在之间的关系，链式法则，高阶偏导的次序交换定理，隐函数的偏导数计算，高阶全微分，一阶微分形式的不变性。曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线方向导数与梯度的定义与计算，梯度。Taylor公式。最小二乘法。

含参变量的积分和反常积分的概念与性质，

含参变量广义积分的一致收敛及判别法。

含参量常义积分所定义的函数的连续性、可微性、可积性，求导与积分,积分与积分的次序交换。含参量反常积分的一致收敛及其判别法，含参量广义积分所定义的函数的性质，欧拉积分， 伽马函数与B函数。

多变量积分学：积分(二重、三重积分，曲线、曲面积分)的定义和性质,重积分的计算及应用,曲线积分和曲面积分的计算,各种积分间的联系和场论初步。

化重积分为累次积分，重积分的换元法，极坐标，柱坐标，球坐标。重积分的应用： 重心，转动惯量，引力。广义重积分。Green公式，Gauss公式，Stokes公式，曲线积分与路径无关的条件，场的三度，保守场与管量场。

参考书目(须与专业目录一致)(包括作者、书目、出版社、出版时间、版次)：

教材：

[

1]

欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编.数学分析（上、下）（第4版），

高等教育出版社，2018。

2．教学参考书：

[1]

邓东皋等.数学分析简明教程（上、下）（第2版），高等教育出版社，2006。

[2]

华东师大数学系编.数学分析（上、下）（第4版），高等教育出版社，2010。