众所周知，考研大纲是全国硕士研究生考试命题的重要依据，也是考生复习备考必不可少的工具书。今天，小编为大家整理了“辽宁师范大学2025年考研大纲：数学学院-831数学分析（学科教学）”的相关内容，请持续关注！
数学学院2025年研究生考试大纲
831《数学分析（学科教学）》考试大纲（专业学位）
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一章 实数集与函数
一．考核知识点
1. 实数
2. 数集·确界原理
3．函数概念
4．具有某些特性的函数
二．考核要求
1. 实数概念，实数的小数表示及性质。运用实数的有序性、稠密性、阿基米德性及封闭性论证有关问题。
2. 邻域概念及应用。
3. 实数绝对值的有关性质及几个常见不等式的应用。
4. 实数集确界的概念及确界原理在有关问题中的运用。
5. 函数的概念，函数的表示法，建立应用问题的函数关系。
6. 复合函数、分段函数、反函数、有界函数、单调函数和周期函数等概念，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，以及各种特性在解决简单问题中的应用。
7. 基本初等函数的定义、性质及其图形，初等函数的概念、定义域以及复合关系。
第二章 数列极限
一．考核知识点
1．数列极限概念
2．收敛数列的性质
3．数列极限存在的条件
二．考核要求
数列的收敛与发散的概念， 利用<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>语言表述或证明与数列极限相关的问题。
收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、算术性质、保不等式性质性、迫敛性等。
利用极限的四则运算法则、迫敛性定理、单调有界定理、柯西准则、子列的概念及致密性定理等判定或证明数列的收敛性，求收敛数列的极限等。
第三章 函数极限
一．考核知识点
1．函数极限概念
2．函数极限的性质
3．函数极限存在的条件
4．两个重要的极限
5．无穷大量与无穷小量
二．考核要求
1. 函数极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
2. 利用<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>或<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>语言表述或证明与函数极限相关的命题。
3. 函数极限基本性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质及四则运算性质等。
4. 利用归结原则（海涅定理）及柯西准则判断函数极限存在性问题。
5. 利用两个重要极限（<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>）求函数极限。
6. 无穷小(大)量及其阶的概念, 以及无穷小量在求函数的极限，曲线的渐近线等问题中的应用。
第四章 函数的连续性
一．考核知识点
1．连续性概念
2．连续函数的性质
3．初等函数的连续性
二．考核要求
1. 函数在一点连续的定义(包括等价叙述)，以及判定。
2. 初等函数或分段函数的间断点并判别其类型。
3. 闭区间上连续函数的基本性质（最值定理、有界性定理、介值性定理、根的存在定理等），及其在相关问题中的运用。
4. 函数的连续性及其在极限求解中的应用。
5. 函数一致连续性的概念及其判定。
第五章 导数与微分
一．考核知识点
1．导数的概念
2．求导法则
3．参变量函数的导数
4．高阶导数
5．微分
二．考核要求
1. 导数的概念及几何意义，利用定义法求函数在一点的导数。求曲线上一点处的切线方程和法线方程， 用导数概念解决相关变化率的实际应用问题。
2. 函数可导的充要条件，函数的可导性与连续性之间的关系。各类基本初等函数导数公式，运用求导的法则和方法计算初等函数的导数。
3. 求参变量函数、分段函数、隐函数及反函数的导数。
4. 函数微分的概念，用定义求函数的微分，运用基本公式和微分法则求初等函数的微分。
5. 导数与微分的联系，增量与微分的关系，用微分作近似计算。
6. 高阶导数与高阶微分概念及二者的联系，用莱布尼茨公式求函数的高阶导数与高阶微分，用一阶微分形式的不变性求复合函数的微分。
第六章 微分中值定理及其应用
一．考核知识点
1．拉格朗日定理和函数的单调性
2．柯西中值定理和不定式极限
3．泰勒公式
4．函数的极值与最大（小）值
5．函数的凸性与拐点
6. 函数图像的讨论
二．考核要求
1. 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、达布导函数介值定理和泰勒(Taylor)定理 (带几种余项的)，并利用中值定理证明有关函数微分学的命题。
2. 洛必达法则及其在不定式的极限计算中的应用。
3. 函数的极值概念及其求解，函数最大值和最小值的求法及其应用。
4. 用导数判断函数的单调性以及凹凸性，求函数图形的拐点以及渐近线，描绘函数的图像。
第七章 实数的完备性
一．考核知识点
1. 关于实数集完备性的基本定理
二．考核要求
1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列等概念及求解。
2. 实数基本定理及其等价性证明。
3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性。
4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
第八章 不定积分
一．考核知识点
1．不定积分概念与基本积分公式
2．换元积分法与分部积分法
3．有理函数和可化为有理函数的不定积分
二．考核要求
原函数和不定积分的概念，原函数与不定积分的关系以及积分与微分的关系。
基本积分公式，用线性运算法则求不定积分。
用换元积分法和分部积分法或综合运用这几种方法求不定积分。
4. 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分的计算。
5. 函数在定义区间存在原函数的条件，以及原函数的存在性的判断。
第九章 定积分
一．考核知识点
1．定积分概念
2. 牛顿-莱布尼茨公式
3．可积条件
4. 定积分的性质
5．微积分学基本定理·定积分的计算
二．考核要求
1. 用定积分的定义求函数的定积分。
2. 可积的必要条件、充要条件及可积函数类。
3. 应用定积分的性质进行积分的计算，积分值的大小比较、 求平均值及有关证明。
4. 微积分学基本定理，运用牛顿—莱布尼茨公式进行有关积分的证明和计算。
5. 积分变上限的函数的定义，及其导数的计算。
6. 用换元积分法和分部积分法计算定积分。
第十章 定积分的应用
一．考核知识点
1. 平面图形的面积
2. 由平行截面面积求体积
3. 平面曲线的弧长与曲率
4. 旋转曲面的面积
二．考核要求
1. 微元法及其应用。
2. 用定积分解决某些几何应用问题：平面图形的面积、平面曲线的弧长、一些特殊立体的体积、旋转曲面的面积等的计算。
第十一章 数项级数
一．考核知识点
1．级数的收敛性
2．正项级数
3. 一般项级数
二．考核要求
1. 数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，级数收敛的必要条件，用定义、性质及收敛的必要条件判别级数的收敛性。
2. 几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。
3. 正项级数收敛性的柯西判别准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
4. 交错级数收敛性的莱布尼茨判别法。
5. 用狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判断某些级数的收敛性。
6. 任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，绝对收敛与收敛的关系。
第十二章 函数列与函数项级数
一．考核知识点
1．一致收敛性
2．一致收敛函数列与函数项级数的性质
二．考核要求
1. 函数项级数的收敛域、和函数的概念及性质。
2. 函数列或函数项级数一致收敛的概念和性质。
3. 数项级数一致收敛性与否的判别方法(柯西准则、优级数判别法、余项准则、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等)。
4. 一致收敛的函数列与函数项级数表示的函数的连续性、可积性、可微性，并用这些性质去解决有关问题。
第十三章 幂级数
一．考核知识点
1．幂级数
2．函数的幂级数展开
二．考核要求
1. 幂级数收敛半径的概念，幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求解。
2. 常用初等函数的麦克劳林展开式，并利用其将某些初等函数展开成幂级数。
3. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，一些幂级数在收敛区间内的和函数的求解，并由此求出某些数项级数的和。
第十四章 多元函数的极限与连续
一．考核知识点
1．平面点集与多元函数
2．二元函数的极限
3．二元函数的连续性
二．考核要求
1. 平面点集的有关概念，求函数的定义域并绘图表示。
2. 二元函数极限概念，重极限与累次极限的关系，借助累次极限解决极限有关问题, 二元函数极限不存在的常用方法的应用。
3. 二元函数连续的概念及判定，利用连续性求初等函数的极限，有界闭域上连续函数的性质。
第十五章 多元函数微分学
一．考核知识点
1．可微性
2．复合函数微分法
3．方向导数与梯度
4. 泰勒公式与极值问题
二．考核要求
1. 多元函数全微分和偏导数的概念及联系，用定义求函数在指定点的偏导数,讨论函数的可微性，求多元函数的全微分。
2. 函数的可微、连续、偏导数存在与偏导数连续之间关系。
3. 多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，以及一些简单函数的高阶偏导数的求法。
4. 方向导数与梯度的概念，及其计算方法。
5. 空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，及其方程的求解。
6. 多元函数的泰勒公式。
7. 多元函数极值和条件极值的概念、极值存在的必要条件与充分条件、简单的多元函数的极值的求解，用拉格朗日乘数法求条件极值， 求多元函数的最大值和最小值，利用最值解决一些简单的应用问题。
第十六章 曲线积分
一．考核知识点
1．第一型曲线积分
2．第二型曲线积分
二．考核要求
1. 运用两类曲线积分的计算法求曲线积分。
2. 用曲线积分的几何意义及物理意义解决有关应用问题。
第十七章 重积分
一．考核知识点
1．二重积分的概念
2. 直角坐标系下二重积分的计算
3．格林公式 ? 曲线积分与路线的无关性
4．二重积分的变量变换
5. 三重积分
6．重积分的应用
二．考核要求
1. 重积分和累次积分的概念及性质，化重积分为累次积分。
2. 二重积分、三重积分的变量变换公式，用直角坐标变换和极坐标变换求二重积分、用柱面坐标变换和球面坐标变换求三重积分。
3. 格林公式及其在二重积分计算中的应用，根据平面曲线积分与路径无关的条件，求二元函数全微分的原函数。
4. 用重积分计算曲面面积、体积等几何量。
第十八章 曲面积分
一．考核知识点
1．第一型曲面积分
2．第二型曲面积分
3. 高斯公式与斯托克斯公式
二．考核要求
1. 第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算。
2. 应用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分及空间曲线积分。
参考书目：
1.《数学分析》，华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
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