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大连海事大学硕士研究生入学考试大纲
考试科目：高等代数
试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
考试内容?
一、?多项式
1. 多项式的带余除法、整除性，最大公因式、互素多项式。
2. 不可约多项式，因式分解唯一性定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定。
3. 多项式函数与多项式的根，有理系数多项式有理根的求法，根与系数关系。
二、?行列式
1．n阶行列式的概念和基本性质，行列式的子式、余子式以及代数余子式。?
2．行列式按行(列)展开定理，范德蒙德行列式，克拉姆法则，拉普拉斯定理，行列式乘积规则。
3. 行列式的计算。?
三、?线性方程组?
1. 向量空间。
2．向量组的线性相关与线性无关。
3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。
4．等价向量组的概念和性质。
5．矩阵的秩。?
6．求解线性方程组的消元法。?
7．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充要条件。
8．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。
9．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。
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四、?矩阵?
1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。
2．矩阵的初等变换，矩阵的等价，矩阵的标准形。
3．初等矩阵的概念和性质。
4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。?
5．分块初等矩阵及应用。
五、?二次型?
1．二次型的矩阵表示及秩。?
2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。
3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。
4．用正交变换化二次型为标准型。
5．一般数域（复数域、实数域）上二次型的标准形和规范形，惯性定理。
6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。
六、?线性空间?
1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。
2．线性子空间及其交与和的基与维数。?
3．线性空间的基变换与坐标变换、过渡矩阵。
4．线性子空间的直和。?
5．线性空间的同构。
七、?线性变换?
1．线性变换的概念、矩阵表示、秩、运算及在给定基下的矩阵。?
2．线性变换（矩阵）的特征值与特征向量的概念、性质。?
3．相似变换、相似矩阵的概念及性质。?
4．线性变换（矩阵）可相似对角化的充要条件。
5．正交矩阵、实对称阵及其性质。
6．值域与核的基与维数。?
7．不变子空间。
8．哈密尔顿-凯莱定理，若当标准形，最小多项式。
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八、 <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>-矩阵
1. <Object: word/embeddings/oleObject2.bin>-矩阵的初等变换，<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子以及三种因子之间的关系。
2. <Object: word/embeddings/oleObject4.bin>-矩阵的等价与数字矩阵的相似。
3. 若当标准型的理论推导。
九、?欧氏空间?
1．向量的内积、范数(长度)、夹角。?
2．施密特正交化过程，标准正交基。
3．正交子空间和正交补。
4．正交变换和对称变换的概念和性质。
5. 实对称阵正交相似于对角阵的计算。
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参考书目?
1．课程教材：《高等代数》（第五版），北京大学数学系前代数小组编（王萼芳、石生明修订），高等教育出版社，2019年。
2．参考资料：徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考(第四版)》，西北工业大学出版社，2014年。
3．参考资料：孙怡东主编，《高等代数辅导》，大连海事大学出版社，2019年。
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